, ,
, .
Логарифмическая функция
Число — логарифм числа (), если .
().
Ввиду многозначности величины логарифм является многозначной функцией.
Главным значением логарифма называется то значение, которое соответствует главному значению аргумента числа
.
Общая степенная функция
Если — любое комплексное число, то
.
Эта функция многозначная, так как многозначна логарифмическая функция.
Общая показательная функция
Если — любое комплексное число, отличное от нуля, то
.
Эта функция также является многозначной.
Обратные тригонометрические функции
, |
, |
(), |
(). |
Решение задачи
а) Подставляя в формулу значение , получаем
.
б) Полагая в формуле значение , запишем
.
Так как , то
.
Следовательно,
.
Замечая, что , запишем
.
Окончательно,
.
в) Воспользуемся представлением показательно-степенной функции в виде суперпозиции общих показательной и степенной функций, т. е.
.
Так как
,
,
то имеем
.
Подставляя полученное выражение, запишем
.
Задача 7
Нарисовать линии или области, заданные равенствами или неравенствами:
а) ,
б) ,
в) .
Справочный материал
Совокупность точек , таких что , образует окружность с центром в точке радиуса . Неравенство определяет множество точек, лежащих внутри этой окружности (внутренность круга), а неравенство — множество точек, лежащих вне окружности (внешность круга).
Совокупность точек , удовлетворяющих уравнению , образует луч, выходящий из точки и составляющий угол с положительным направлением оси .
Решение задачи
а) Из формулы Эйлера получаем
.
Следовательно,
или .
Возведя обе части уравнений последней системы в квадраты и сложив, получим уравнение
.
Так как параметр изменяется от до , то искомая линия представляет собой верхнюю половину окружности с центром в точке единичного радиуса (рис. 4).
Рис. 4.
б) Пусть . Тогда . Следовательно, .
Так как по условию , получаем или . Последнее неравенство определяет множество точек в первой и третьей четвертях, соответственно над и под гиперболой (рис. 5).
Рис. 5.
в) Так как ,то неравенство
задает множество точек внутри и на окружности радиуса, равного , с центром в точке .
Система описывает точки, лежащие внутри и на границах области, образованной лучами, выходящими из начала координат под углами и к оси (рис. 6).
Рис. 6.
Задача 8
Восстановить аналитическую функцию по ее вещественной части
.
Справочный материал
Пусть функция определена на области D. Зафиксируем точку (соответственно функция примет значение ). Пусть переменная z получит приращение , то есть (при этом должно быть настолько мало, чтобы точка z оставалась внутри области D). Тогда значение функции тоже получит приращение
.
Производной функции в точке называется предел
,
при условии, что он существует.
Функция дифференцируема в точке тогда и только тогда, когда существует конечная производная .
Функция, дифференцируемая в каждой точке области, называется дифференцируемой в этой области.
Пусть функция определена в некоторой окрестности точки , где и дифференцируемы в этой точке. Тогда для того, чтобы функция была дифференцируема в точке , необходимо и достаточно, чтобы в этой точке выполнялись равенства
.
Эти равенства называются условиями Коши - Римана или условиями Эйлера - Даламбера.
Однозначная функция , дифференцируемая в какой-либо точке и некоторой ее окрестности, называется аналитической в этой точке.
Если функция является аналитической в каждой точке области D, то она называется аналитической в этой области.
Функция является аналитической в области тогда и только тогда, когда в каждой точке этой области выполняются условия Коши-Римана.
Если аналитическая в некоторой области, то её вещественная и мнимая части и удовлетворяют дифференциальному уравнению Лапласа , то есть
, .
Решения уравнения Лапласа называются гармоническими функциями.
Решение задачи
1) Проверим, является ли функция гармонической.
; ;
; ;
Поскольку , требование гармоничности выполнено.
2) Для отыскания функции воспользуемся условиями Коши - Римана.
Так как , то из первого условия Коши - Римана получаем , откуда
. (1)
По второму условию Коши - Римана , то есть
, или
,откуда
.
Интегрируя, найдем , и подставим последнее выражение в формулу (1):
.
Таким образом, аналитическая функция имеет вид
.
Полагая в этом равенстве , получаем
.
Учитывая заданные начальные условия, находим :
.
Тогда
.
Задача 9
Найти образ линии при следующих отображениях:
а) , б) .
Решение задачи
а) Учитывая, что , запишем
,т.е.
Выразим из последних соотношений и :
.
Подставив их в уравнение заданной линии, получим уравнение прямой , или (рис. 7).
Рис. 7.
б) Выражение дает или
.
Тогда
, .
Подставив и в уравнение исходной линии, получим , откуда , или
.
Последнее уравнение определяет окружность радиуса с центром в точке (рис.8).
Рис. 8.
Задача 10
Исследовать конечные особые точки функции и найти в них вычеты
а) , б) , в) .
Справочный материал