Тема: Исследование функции с помощью производной.
Цель: ознакомление с понятиями монотонности функции, точками экстремума и экстремумами функции; формирование умения применять полученные знания для исследования функции.
Методические указания.
С помощью производной функции можно определить характер монотонности функции, точки экстремума, а также ее наибольшее и наименьшее значение на заданном промежутке.
Достаточное условие возрастания (убывания) функции:
а) если на заданном промежутке , то функция возрастает на этом промежутке;
б) если , то функция убывает на этом промежутке.
Экстремум функции
Максимумом (минимумом) функции называют такое ее значение, которое больше (меньше) всех ее других значений в окрестности рассматриваемой точки.
Максимум и минимум функции имеют локальный характер, поскольку отдельные минимумы некоторой функции могут оказаться больше максимумов той же функции.
Максимум и минимум функции называются экстремумом функции. Значение аргумента, при котором достигается экстремум, называется точкой экстремума. На рисунке значения , , , и являются точками экстремума рассматриваемой функции.
Критическими точками функции называют те значения аргумента, при которых производная функции равна нулю или не существует. Критические точки функции находят, решая уравнение: .
Пример 1. Найдите промежутки монотонности и точки экстремума функции .
Решение. Используя таблицу производных найдем производную функции: . Найдем критические точки: , , . Нанесем числа и на координатную прямую и установим знаки производной на полученных промежутках:
Ответ: На промежутках и функция возрастает. На промежутке функция убывает. Точки экстремума: , .
Пример 2. Найдите точки перегиба и промежутки выпуклости и вогнутости графика функции .
Решение. 1. Используя таблицу производных найдем первую производную функции: .
2. Используя таблицу производных найдем вторую производную функции: .
3. Найдем критические точки второго рода: , .
4. Нанесем точку на область определения данной функции и установим знаки ее второй производной на полученных промежутках:
Ответ: На промежутке функция выпукла вверх; на промежутке функция выпукла вниз; – точка перегиба графика функции.
Пример 3. Найдите наибольшее и наименьшее значение функции на отрезке .
Решение. 1. По формуле найдем производную данной функции: .
2. Найдем критические точки функции, решая уравнение , откуда , .
3. Найдем значение функции на концах отрезка и в критической точке , поскольку она принадлежит данному отрезку: , , .
Ответ: , .
Содержание работы
№1. Найти промежутки возрастания и убывания функции:
1. y=2x5+4x3-1
2.
№2. Найти промежутки монотонности функции:
f(x)=2x2-5x=3
№3. Найти наибольшее и наименьшее значения функции
y=2x3+3x2-36x
на отрезке [-2;1]
№4. Найти точки экстремума и экстремумы функции:
y=2x3-9x2+12x-8
Контрольные вопросы
1. Дать определение экстремумов функции.
2. Сформулировать теорему о достаточных условиях монотонности функции.
3. Сформулируйте признак максимума (минимума) функции.
4. Опишите схему исследования функции?