Вероятность и предсказуемость

Часто говорят: с вероятностью выигрывает у . Но вдруг оказывается, что выиграл у . Причем дважды подряд. Нет ли здесь какой-то ошибки?

Безусловно, нет. Вероятность, как и любой другой инструмент, имеет свои ограничения: подразумевается, что при достаточно большом количестве игр количество побед над будет стремиться к от общего числа игр.

Что такое достаточно большое? Однозначного ответа на этот вопрос нет. Для каждой конкретной задачи модель будет иметь определенные ограничения, которые зависят от условий задачи.

Чаще всего на практике используют статистические данные длительных наблюдений или большого количества экспериментов. В математической же интерпретации инструмента вероятности мы будем использовать определенные предположения, о которых поговорим чуть позже.

Рассмотрим пример парадокса дней рождения: в группе, состоящей из или более человек, вероятность совпадения дней рождения (число и месяц) хотя бы у двух людей превышает .

Например, если в классе ученика или более, то более вероятно то, что у кого-то из одноклассников дни рождения придутся на один день, чем то, что у каждого будет свой неповторимый день рождения.

Такое утверждение может показаться неочевидным, т. к. вероятность совпадения дней рождения двух человек с любым днем в году , умноженная на число человек в группе , дает лишь . Это рассуждение неверно.

В группе из человек вероятность совпадения дней рождения у двух человек столь высока, потому что рассматривается вероятность совпадения дней рождения у любых двух человек в группе. Эта вероятность определяется количеством пар людей, которые можно составить из человек. Т. к. порядок людей в парах не имеет значения, общее число таких пар равно , т. е. пары.

В формулировке парадокса речь идет именно о совпадении дней рождения у каких-либо двух членов группы. Одно из распространенных заблуждений состоит в том, что этот случай путают с другим случаем, на первый взгляд похожим, когда из группы выбирается один человек и оценивается вероятность того, что день рождения каких-либо других членов группы совпадет с днем рождения выбранного человека. В последнем случае вероятность совпадения значительно ниже.

Это еще один пример заблуждения, связанного с теорией вероятности. Если миллион человек играют в лотерею, то вероятность, что кто-то один из этого миллиона выиграет, велика. Но вероятность того, что это будет конкретный человек – Вася Петров, – практически равна .

Мы часто заблуждаемся при вероятностной оценке ситуации. Например, на вопрос – если раз подряд монету подбросили и выпала «решка», что более вероятно на десятый раз – выпадение «орла» или «решки»? – большинство людей отвечает, что «орел». Хотя, если монета не какая-то особая, то правильный ответ – вероятности равны. Ведь у монеты нет памяти и предыдущие броски не влияют на ее поведение при следующем броске. При этом с житейской точки зрения поставить на «орел» действительно кажется более логичным, чем поставить на «решку».

Это, кстати, объясняет, почему люди не могут остановиться в казино. Если человек ушел в минус, ему кажется, что он сейчас обязательно отыграется – не может же все время не везти. Но, даже при абсолютно честной игре со стороны казино, если вероятность победы в игре каждый раз равна , она такой и останется при каждом следующем розыгрыше, независимо от результата предыдущего (см. рис. 28).

Рис. 28. Вероятность победы в игре каждый раз равна

Так что будьте внимательны при оценке вероятности того или иного события.

Вычисление вероятности

Как же рассчитать вероятность? Проще всего это сделать для событий, исходы которых равновозможны. Например, событие – бросок монеты. У него два возможных исхода – выпадет «орел» или «решка». Монета симметрична, поэтому нет оснований полагать, что какой-то из исходов будет встречаться чаще. Поэтому эти исходы называют равновозможными, а выпадение «орла» и «решки» – равновероятными событиями.

Вероятность каждого из событий равна :

Это же можно записать, используя проценты (:

Еще один пример события с равновероятностными исходами – бросание игрального кубика. С равной вероятностью может выпасть число от до . Соответственно, вероятность каждого из событий равна .

В общем случае можно сказать, что если все исходы некоторого испытания равновозможны, то вероятность события равна отношению числа благоприятных этому исходу событий к общему числу возможных исходов :

Рассмотрим несколько примеров вычисления вероятностей.

1. Если перемешать колоду карт, то все исходы вытаскивания карты будут равновозможны. Посчитаем вероятность вытащить туза из колоды в карт. Всевозможных исходов ( карт), благоприятных исходов – ( из тузов). Тогда вероятность вытащить из колоды туза будет равна:

2. Посчитаем вероятность выпадения на кубике четного числа. Всего возможных исходов, благоприятных – (выпала , или ):

3. Рассмотрим следующее событие: «на кубике выпало целое число». Очевидно, на кубике могут выпадать только целые числа. Такое событие, которое всегда происходит при проведении некоторого испытания, называют достоверным. Вероятность достоверного события равна (или ). Это понятно и по смыслу: происходит всегда, со вероятностью, это можно подтвердить и формулой. Всего возможных исходов, благоприятных – :

4. Событие, которое не произойдет в опыте ни при каких условиях, называется невозможным. Например, это выпадение числа на кубике. Вероятность такого события равна нулю, ведь благоприятных исходов нет:

Интересно, что, говоря о броске монеты, мы считаем, что выпадет «орел» или «решка». А событие «выпадение на ребро» считаем невозможным, хотя такая вероятность и существует. Но она крайне мала, поэтому мы можем ею пренебречь и говорить только о выпадении «орла» и «решки».

Статистический подход

Итак, если мы проводим испытание с равновозможными исходами, то вероятность можно вычислить по формуле:

где – число благоприятных исходов, –общее число возможных исходов.

Числа и мы можем вычислить с помощью формул комбинаторики, и нам даже не надо производить сам опыт.

А как быть с вероятностями событий, где исходы не равновозможны? Здесь обычно применяют статистический подход: смотрят статистику и считают, сколько всего произошло событий и сколько среди них «благоприятных» . Тогда можно оценить вероятность того, что в дальнейшем произойдет «благоприятное» событие:

Причем, чем больше будет этих событий , тем точнее будет расчет. Например, можно оценить вероятность того, что человек заболеет этой зимой. Для этого можно взять статистику, сколько людей заболело прошлой зимой , и разделить на общее количество людей .

Используя статистический подход, можно понять, почему не стоит ставить в лотерее рублей, если можно выиграть миллион с вероятностью одна миллионная. Ведь вероятность выиграть значит, что если мы будем участвовать в лотерее раз (общее количество событий ), то выиграем, скорее всего, только раз (число благоприятных событий ). За это время мы поставим рублей, а выиграем всего . Итог: за участий мы в среднем потеряем рублей. За одно участие, соответственно, в среднем мы теряем рублей.