Рассмотрим систему
где при --- постоянные, могут быть функциями координат, параметров и времени.
Определенно положительная функция
имеет производную в силу системы в следующем виде:
где
Таким образом, будет определенно отрицательной или знакоотрицательной, если этим же свойством обладает форма
Как известно, критерий Сильвестра легко переносится на случай квадратичных форм с переменными коэффициентами, и поэтому этот критерий с успехом может быть использован.
В качестве примера построим функцию Ляпунова для системы уравнений переходного процесса синхронного двигателя
Здесь , --- постоянные, --- возмущение рабочего угла, --- возмущение силы тока, возникающее в результате наброса нагрузки на двигатель.
В данном случае получаем
а в качестве матрицы берем единичную матрицу. Таким образом, получим
Построенная функция Ляпунова позволяет оценить область притяжения положения равновесия, что дает возможность быстро оценить допустимую предельную нагрузку на синхронный двигатель.
|
|
Предложенный метод в линейном случае дает необходимые и достаточные условия устойчивости, если найти подходящие выражения для . Это следует из того, что всякая определенно положительная квадратичная форма линейным преобразованием может быть приведена к каноническому виду, т. е. к сумме квадратов переменных. Трудность этого метода состоит в подборе и матрицы .
Метод Красовского
Исследуется система уравнений
Функция Ляпунова строится в виде , где симметричная матрица подбирается так, чтобы ее собственные числа были положительны и чтобы симметризованная матрица
удовлетворяла критерию отрицательности Сильвестра. Имеем в силу системы
Таким образом, получим и .
В качестве примера рассмотрим уравнение
эквивалентное системе
Функцию Ляпунова выбираем в виде
Легко видеть, что
Очевидно, следует принять и , тогда будем иметь
и условие устойчивости в целом принимает вид при любых .
Метод Уокера-Кларка
Рассмотрим уравнение
эквивалентное системе
Функцию Ляпунова для системы предлагается брать в виде
где специально подбирается с целью упрощения вида и с целью выполнения неравенства .
Так, например, для системы
функцию будем искать в виде
|
|
Имеем в силу системы
где
Очевидно, проще всего положить , , , откуда
и получаем функцию
В качестве второго примера рассмотрим уравнение
эквивалентное системе
Согласно предложенному способу следует принять
Имеем тогда
Если положить , то условия устойчивости будут иметь вид
и .
Но эти условия не могут быть удовлетворены для линейной функции
.
Значительно полезней оказывается функция, предложенная Л. Америо,
В данном случае получим
и условия устойчивости в целом принимают вид
а) при ,
б) при ,
в) при .
Градиентный метод
Предлагается начинать поиск функций Ляпунова с записи градиента этой функции в форме
где
Функции подбираются из условия отрицательности и из требования, чтобы векторное поле было потенциальным. Это значит, что должны выполняться условия . После того как найден градиент сама функция определяется как криволинейный интеграл
В качестве примера рассмотрим уравнение
где . Это уравнение эквивалентно системе
Будем искать вектор-градиент в форме
В силу системы получим
Удобно положить , , . Условия потенциальности поля дают . Таким образом, имеем , , . Формула дает нам
или, что то же самое,
Так как , то условия устойчивости имеют вид и