Уравнение незатухающих гармонических колебаний. Основные характеристики незатухающих колебаний

Гармонические колебания происходят в замкнутой механической системе ( = 0) под действием упругой (квазиупругой) силы, в отсутствие сил трения (сопротивления). Полная механическая энергия системы при этом сохраняется.

Согласно II закону Ньютона,

Учитывая, что и вводя обозначение , получим

. (2.2)

Это дифференциальное уравнение свободных незатухающих колебаний.

Решениями этого дифференциального уравнения являются функции:

, (2.3)

где – смещение от положения равновесия в момент времени ; –амплитуда колебаний, т. е. максимальное смещение (взятое по модулю) от положения равновесия; – циклическая частота незатухающих колебаний – скалярная физическая величина, численно равная числу полных колебаний, совершенных за секунд; – начальная фаза колебаний – определяет фазу колебаний в начальный момент времени;. – фаза колебаний – величина, определяющая смещение от положения равновесия в данный момент времени.

Кроме того, к основным характеристикам колебаний относятся также следующие величины: – период незатухающих колебаний, т. е. промежуток времени, за которое совершается одно полное колебание; – частота колебаний, численно равная числу полных колебаний, совершенных системой за 1 секунду.

, (2.4)

. (2.5)

В случае пружинного маятника циклическая частота и период незатухающих колебаний равны соответственно:

, (2.6)

а для математического маятника, с учетом того, что :

, (2.7)

Рассмотрим, как изменяются со временем скорость и ускорение колеблющегося тела. Пусть смещение тела от положения равновесия изменяется по закону косинуса:

. (2.8)

Учитывая определения скорости и ускорения тела, запишем:

, (2.9)

, (2.10)

где и – амплитудные (максимальные) значения скорости и ускорения колеблющегося тела, соответственно.

Графики зависимостей (2.8) – (2.10) при представлены на рис. 2.3

Рис. 2.3

Тело, совершающее гармонические колебания, обладает и кинетической, и потенциальной энергией:

(2.11)

. (2.12)

Поскольку в системе нет неконсервативных сил, то полная механическая энергия W системы не изменяется:

. (2.13)

На рис. 2.4 приведены графики зависимости кинетической, потенциальной энергии системы, отвечающие зависимостям (2.11), (2.12) при , а также полной энергии.

Как видно из графиков, приведенных на рис. 2.3 и 2.4, период изменения потенциальной и кинетической энергий в два раза меньше, чем для смещения х.