Гармонические колебания можно представить с помощью вектора амплитуды, вращающегося вокруг точки O с угловой скоростью w (рис. 2.8). Длина этого вектора равна амплитуде колебаний. В начальный момент времени угол между вектором амплитуды и положительным направлением оси x равен начальной фазе колебаний. Тогда проекция вектора на ось в момент времени t = 0 равна . С течением времени проекция на ось O х вращающегося вектора амплитуды изменяется по гармоническому закону . Такой способ представления гармонических колебаний называют векторной диаграммой или диаграммой вектора амплитуды.
Рис. 2.8
С помощью векторной диаграммы удобно складывать колебания одинаковой частоты и одного направления. Рассмотрим подробнее.
Пусть тело одновременно участвует в двух гармонических колебаниях одинаковой частоты, происходящих в одном направлении согласно законам
, (2.33)
. (2.34)
Результирующее движение представляет собой сумму колебаний и и будет также гармоническим колебанием той же циклической частоты [3]
.
Рис. 2.9
Чтобы найти амплитуду и начальную фазу результирующего колебания воспользуемся диаграммой вектора амплитуды. Из точки O проведем вектора и под углами j01 и j02 к оси (рис. 2.9) и приведем их во вращение с угловой скоростью .
Проекции векторов и на ось при этом совершают гармонические колебания в соответствии с уравнениями (2.33, 2.34). Результирующее колебание будет изображаться проекцией на ось вектора , полученного из векторов и по правилу параллелограмма [3]. Из построения на рис. 2.9 и теоремы косинусов следует, что
, (2.35)
, (2.36)
где A – амплитуда, – начальная фаза результирующего колебания.
Рассмотрим некоторые частные случаи сложения колебаний.
1. ,
т. е. если разность фаз складываемых колебаний равна четному числу π, то тогда колебания максимально усиливают друг друга.
2. ,
т. е. если разность фаз складываемых колебаний равна нечетному числу π, то тогда колебания максимально ослабляют друг друга [3].
3. .
Биения
Биения − это колебания, с периодически изменяющейся амплитудой, получающиеся в результате сложения двух гармонических колебаний одного направления с близкими частотами. Сами биения не являются гармоническими колебаниями.
Выведем уравнение биений. Для этого рассмотрим два гармонических колебания х 1 и х 2, происходящих в одном направлении с близкими частотами ( >> ) и равными амплитудами (для удобства расчетов):
.
Тогда результирующее колебание будет происходить по закону
, (2.37)
где при выводе формулы (2.37) была учтена формула сложения косинусов ().
Первый сомножитель в выражении (2.37) изменяется со временем значительно медленнее второго (), поэтому можно считать, что результирующее колебание представляет собой колебание с циклической частотой и с изменяющейся со временем амплитудой [3]
. (2.38)
Под периодом биений – понимают период изменения амплитуды результирующего колебания:
, (2.39)
где – циклическая частота биений [3].
На рис. 2.10 приведены графики зависимости амплитуды биений и смещения м.т. от времени t [3].
Рис. 2.10
В общем случае, когда складываются колебания близких частот, но не равных амплитуд, амплитуда результирующего колебания (биений) изменяется в пределах, заключенных в интервале от до ().
Приведем пример биений: источником двух звуковых сигналов является звуковой генератор. Сначала генерируются сигналы разных частот, таких, что человек различает эти сигналы как отдельные. По мере сближения с помощью звукового генератора частот этих сигналов, человек начинает вместо двух разных сигналов слышать один, но с переменной амплитудой (биения). При выравнивании частот сигналов человек слышит один звуковой сигнал с постоянной амплитудой.
Биения можно использовать, например: 1) для настройки музыкальных инструментов, при анализе восприятия звуков человеком; 2) для определения частоты какого-либо гармонического электрического колебания. Для этого на вход осциллографа подают гармонические колебания от звукового генератора (частоту этих колебаний можно изменять) и гармонические колебания с неизвестной частотой от какого-либо источника. По наблюдаемой на экране осциллографа картине биений определяют период биений и частоту колебаний () [3].