Постановка задачи оптимального управления
Задача оптимального управления.
Оптимальным называется управление, обеспечивающее достижение наилучших, в смысле выбранного критерия, показателей качества системы в условиях заданных ограничений на управляющие воздействия и переменные состояния.
Важнейшую роль в проблемах оптимального управления играет корректная постановка задачи, то есть адекватный выбор критерия оптимальности и ограничений.
В большинстве случаев перевести объект управления из одного состояние в другое (из исходного в заданное) можно множеством способов. Эти способы реализуются с помощью различных законов управления. Задача оптимального управления заключается в выборе из множества управлений такой закон, чтобы процесс перехода объекта управления из исходного состояния в заданное был оптимальным по определенному критерию (критерию оптимальности). В качестве критерия может использоваться, например, количество энергии, затрачиваемой на процесс перехода, или время, затраченное на переход.
|
|
Формализация задачи оптимального управления.
Математическая модель объекта управления.
Математическая модель объекта управления (ОУ) задается системой уравнений
(1)
где: - вектор состояния, координатами которого являются состояния (фазовые координаты) ОУ;
- вектор управления (), координатами которого являются управляющие воздействия на ОУ, создаваемые регулирующими органами ОУ;
t – время, - период функционирования системы;
- заданная вектор – функция, конкретный вид которой определяется конструктивными или физическими особенностями объекта управления. Предполагается, что все функции непрерывны вместе со своими частными производными по всей совокупности переменных.
На состояния и управления могут быть наложены ограничения.
Под состояниями понимаются изменяемые во времени внутренние параметры ОУ, значения которых характеризуют состояние ОУ в каждый момент времени t.
Состояние объекта в каждый момент времени можно изобразить точкой в n – мерном пространстве Rn, называемым пространством состояний ОУ. Движение объекта в пространстве состояний проявляется в том, что координаты вектора меняются с течением времени t. При движении объекта в пространстве состояний точка описывает в пространстве состояний траекторию.
Пусть S – множество значений состояний, в которых объект может находиться (ограничения на состояния могут быть связаны, например, с максимально допустимым давлением, температурой и т.п.). Обычно эти ограничения задаются неравенствами . В этом случае множество S геометрически представляет из себя гиперпараллелепипед в пространстве Rn.
|
|
При наличии ограничений вектор состояний объекта в каждый момент времени должен удовлетворять условию
(2)
Условие (2) называется ограничением на состояния.
Вектор определяет точку в k - мерном пространстве . В пространстве выделяется множество U, называемое множеством допустимых управлений. В любой момент времени точка должна принадлежать этому множеству.
(3)
Условие (3) называется ограничением на управление.
Объект, математическая модель которого описывается системой уравнений (1), является управляемым, что выражается в следующем: если выбрано некоторое допустимое управление , , то подстановка его в (1) приводит к системе обыкновенных дифференциальных уравнений (ОДУ) в векторной форме
. (4)
При заданных начальных условиях получаем задачу Коши, которая при условии непрерывности функции вместе с ее производными имеет единственное решение.
Решение системы ОДУ (4) с заданными начальными условиями называется фазовой траекторией, соответствующей заданному управлению.
Начальное условие в задачах оптимального управления часто называют начальным состоянием.
Если - допустимое управление, , - траектория, удовлетворяющая ограничению (2), , то пара функций называется допустимым процессом.
При рассмотрении реальных управляемых объектов прежде всего возникает задача управления.
Пусть задано множество М (цель управления) тех состояний, которые являются желательными. При этом должно выполняться условие .
Если управление , , переводит объект (1) из начального состояния в некоторое состояние за время (t1, вообще говоря, может быть заранее неизвестно), то будем говорить, что управление реализует цель управления М.
Задача управления объектом состоит в том, чтобы найти допустимое управление , реализующее заданную цель управления.
Краевые условия.
Если множество М, характеризующее цель управления, совпадает со всем пространством состояний , то такую задачу называют задачей со свободным концом траектории. В этом случае краевым является начальное условие .
Более сложными являются так называемые двухточечные задачи.
Задача с фиксированными концами. Краевые условия в этом случае имеют вид и . При этом интервал времени (t1 – t0) может быть как заданным, так и подлежащим определению. (При t0 = 0 может быть заданным или подлежащим определению время t1 – момент окончания процесса управления). В этом случае множество М (цель управления) состоит из единственной точки .
Задача с подвижными концами. Требуется перевести объект из состояния , принадлежащего некоторому заданному множеству в некоторое состояние , принадлежащего некоторому заданному множеству . Множества М0 и М1 представляют собой гиперповерхности в пространстве состояний Rn. Если М0 и М1 вырождаются в точки, то получаем задачу с фиксированными концами.