Закон больших чисел.
Уникальность и красота математики состоит в том, что очень многие физические явления реального мира, имеющие совершенно разную природу, могут быть описаны одними и теми же математическими объектами.
На физико-математических факультетах университетов в первом семестре изучают механические колебания. Они могут быть созданы пружинными или математическими маятниками. В следующем семестре рассматриваются темы, связанные со светом. Как известно, свет, с одной стороны, имеет корпускулярную природу, а с другой – волновую. Несмотря на то, что механические колебания и свет имеет принципиально разную природу и совершенно разные причины, оба эти явления задаются одним и тем же уравнением колебаний.
Более того, еще в эпоху древнейших цивилизаций ученые-математики делали поразительной точности вычисления. Древние египтяне и майя не имели полного представления о движении и положении небесных светим, не знали, по каким орбитам движутся планеты и как они расположены относительно Солнца. Им, как наблюдателям с Земли, было видно, что красная планета через определенные промежутки времени останавливается и начинает движение в обратную сторону. Сегодня нам известно, что планеты движутся не «туда-обратно», а по эллиптическим орбитам вокруг Солнца. Древнейшим математикам это было неизвестно. Тем не менее, это не помешало им с поразительной точностью вычислить год и день, когда Марс вновь изменит свою траекторию движения.
|
|
Как видите, успехи в математике иногда опережали реальные открытия. То же самое можно сказать и о теории относительности Эйнштейна. Еще никому из людей не приходилось летать со скоростью света, однако четко выверенные математические формулы и модели уже существуют.
Функция Гаусса и ее график. Работа с гистограммами – примеры их разных областей жизни.
Так и в теории вероятностей и математической статистике существуют свои универсальные модели, которые могут быть применимы для изучения самых различных явлений. К таковым относится, например, функция Гаусса. Эта функция введена немецким математиком К.-Ф. Гауссом (1777-1855).
Карл Фридрих Гаусс — немецкий математик, астроном, геодезист и физик. Для творчества Гаусса характерна органическая связь между теоретической и прикладной математикой, широта проблематики. Труды Гаусса оказали большое влияние на развитие алгебры (доказательство основной теоремы алгебры), теории чисел, дифференциальной геометрии, математической физики, теории электричества и магнетизма, геодезии и многих разделов астрономии.
Гауссова функция задается весьма сложной формулой
|
|
На интерактивную доску выводится изображение гауссовой кривой.
Это «колоколообразная» кривая. Она имеет единственную точку максимума, симметрична относительно оси ординат, площадь под этой кривой равна единице. Она очень быстро асимптотически приближается к оси абсцисс:если оценить площадь под гауссовой кривой на отрезке [-3;3], то получится более 99% всей площади.
Удивительно, что в формуле гауссовой функции одновременно присутствуют два замечательных иррациональных числа: и , в первоначальных определениях которых, казалось бы, нет ничего общего. Число возникло при нахождении длины окружностей и площади кругов, а число появляется в связи с введением показательных и логарифмических функций. Оказывается, что эти столь различные числа вместе используются при описании многих статистических и вероятностных явлений.
Гауссова кривая появляется при статистической обработке данных. Как мы видели на предыдущих уроках, гистограммы (столбчатые диаграммы) распределения большого объема информации незаменимы в случаях, когда ряд данных состоит из очень большого количества чисел. Если ширина вертикальных столбцов гистограммы достаточно мала, а основания столбцов в объединении дают некоторый промежуток, то сама гистограмма похожа на график некоторой непрерывной функции, заданной на этом промежутке. Иногда такую функцию называют выравнивающей функцией. Например, на рис. 1 представлена гистограмма роста женщин, построенная по выборке, в которой было 1375 женщин.
|
Приведем пример из военного дела. Производилось 500измерений боковой ошибки при стрельбе с самолета. На графике (рис. 2) по оси абсцисс отложены величины ошибок («левее или правее» цели), а по оси ординат — частоты этих ошибок.
Приведем пример из биологии. Измерялся размер 12 000 бобов, и по оси абсцисс откладывались величины отклонений от среднего размера бобов, а по оси ординат — соответствующие частоты (рис. 3).
|
Примеры, как видите, взяты из совершенно различных областей, а графики функций, выравнивающих гистограммы, похожи друг на друга. Оказывается, что такому же закону подчиняется распределение и горошин по весу, и новорожденных младенцев по весу, и частиц газа по скорости движения, и множества других явлений окружающего нас мира. Подобно тому как графики всех парабол получаются с помощью линейных преобразований вдоль координатных осей из одной-единственной параболы у = х2, все эти кривые распределения получаются из одной-единственной кривой, а именно из гауссовой кривой. Ее очень часто называют также кривой нормального распределения.