Алгоритм использования функции Гаусса в приближенных вычислениях

Алгоритм использования функции  в приближенных вычислениях

Для вычисления вероятности   следует:

1) проверить справедливость неравенства npq   10;

2) вычислить   по формуле  

3) по таблице значений гауссовой функции вычислить

4) предыдущий результат разделить на

                    

Рассмотрим внимательнее неравенство npq   10. Так как , то  и наибольшее значение этого квадратичного выражения (относительно ) достигается при . Наибольшее значение равно 0,25. Значит,

Поэтому из условия 1) алгоритма следует, что . Это значит, что указанный алгоритм дает хорошую точность приближения, когда испытание с двумя исходами независимо повторяется как минимум несколько десятков раз. При меньшем числе повторений точность приближения резко ухудшается.

Задача.

Вероятность рождения мальчика примем равной 50%. Найти вероятность того, что среди 200 новорожденных будет 110 маль­чиков.

Решение:

Будем действовать по предложенному алгоритму. В на­шем случае п = 200, p = q = 0,5. Значит, npq = 50 > 10 и  При этом число «успехов»   равно 110.

Тогда:

Используя таблицы, вычисляем ответ:

Вероятность   того, что число «ус­пехов»   в   испытаниях Бернулли находится в пределах от   до .

Вероятности , как правило, весьма малы. Это вполне объяснимо даже и без вычислений, на интуитивном уровне. Если монету бросить 1000 раз, то практически невероятно выпадение ровно 694 «орлов» или именно 427 «решек» и т. п. Поэтому при большом числе п в схеме Бер­нулли для числа k «успехов» устанавливают не одно точное значение, а некоторые рамки, в пределах которых разрешено меняться числу .На­пример, найти вероятность того, что в 1000 бросаниях монеты «орел» выпадет от 500 до 600 раз, или вероятность того, что среди 200 новорож­денных будет от 70 до 110 мальчиков. Вероятность того, что число «ус­пехов»   в   испытаниях Бернулли находится в пределах от   до , обо­значают так: .

Функция  Ее геометрический смысл и график.

Для вычисления вероятностей снова используют гаус­сову функцию . Удобнее только ввести сначала некоторую допол­нительную функцию Ф. Для этой функции также составлены таблицы значений, а связана она с  следующим образом. Если аргумент х положителен, то Ф(х) равно площади под гауссовой кривой на отрезке от 0 до х. Более точно, Если х < 0, то Ф(х) = - Ф(х).

На интерактивную доску выводятся следующие графики.

Кроме того, из графиков видно, Ф(0) = 0. Значит, функция Ф нечетна, а ее график симметричен относительно начала координат. Ясно также, что эта функция возрастает на всей прямой. График функции   изображен на рисунке ниже.

На интерактивную доску выводятся график.

 

Алгоритм использования функции  в приближенных вычислениях. Задача.

Алгоритм решения задач на нахождение  аналогичен уже рассмотренному для .

Алгоритм использования функции  в приближенных вычислениях

Для вычисления вероятности    следует:

1) проверить справедливость неравенства npq   10;

2) вычислить     и по формулам

3) по таблице вычислить значения  и

4) найти разность  

 

                 

Задача.

Политика П. поддерживает в среднем 40% населения. Какова вероятность того, что из 1500 случайно опрошенных людей поли­тика П. поддерживают  от 570 до 630 человек?

Решение.

    Считаем, что опрос 1500 человек происходит независи­мо и что вероятность поддержки политика П. отдельным респондентом, т. е. вероятность   «успеха», равна 0,4. Тогда        

и        

Значит, мы имеем дело с частным случаем схемы Бернулли, в кото­рой число «успехов»   находится в пределах от 570 до 630.

Поэтому

     

Закон больших чисел.

Для каждого положительного числа  при неограниченном увеличении числа  независимых повторений испытания с двумя исходами вероятность того, что частота  появления «успеха» отличается менее чем на  от вероятности  «успеха» в одном отдельном испытании, стремится к единице.

В частности, если нам неизвестна вероятность случайного события А, которое может происходить или не происходить в результате некоторого испытания, то мы можем многократно повторять это испытание и вы­числять частоту наступления этого события А. При большом числе по­вторений практически несомненно, что таким образом найденная частота приблизительно будет равна вероятности Р(А) этого случайного события.