Начало и исходное положение доказательства

Рассмотренное в предыдущем параграфе взаимоотношение двух систем делает необходимым отличить друг от друга начало доказательства и исходное положение доказательства.

Исходное положение и начало доказательства отличаются друг от друга, поскольку начало доказательства есть сущность доказательства; например, для Аристотеля начало доказательства есть положение о невозможности противоречия, как невозможности одновременного утверждения и отрицания; а исходным положением доказательства является определение, его простая положительность, которая предшествует суждению, как утверждению и отрицанию, и доказательству, которое осуществляется посредством утверждения-отрицания; для него определение не есть доказательство и доказательство не есть определение. Доказательство начинается тем, что не есть доказательство — определением.

То обстоятельство, что начало доказательства и его исходное положение отличаются, ясно будет видно, если мы попытаемся начало доказательства, как его сущность, представить в виде исходного положения, в виде посылки. Представить сущность доказательства, например Dictum, как посылку, значит впасть в логическую ошибку. Если сущность доказательства берется как посылка, тогда доказательством будет связь этой посылки с другим. Если и эту связь возьмем как посылку, то и тогда повторится то же самое и т. д. до бесконечности; вместе с тем это будет признанием доказательства до доказательства; сущность доказательства есть то, что оно есть, а не его посылка.

Несмотря на указанное здесь различие, начало и исходное положение доказательства могут быть представлены как одно и то же. Это имеет место тогда, когда исходным положением доказательства берутся аксиомы. Аксиома может быть как сущностью доказательства, так и его исходным положением. Это имеет место в дедуктивных системах, в частности в математической логике, где аксиомы правила вывода берутся как за начало, так и за исходное положение доказательства. В аксиомах заранее подразумевается все доказательство, взятое по существу. С точки зрения Лукасевича, как это было отмечено и выше, аксиомами логики Аристотеля являются модусы первой фигуры категорического силлогизма, тогда как весь категорический силлогизм, в конце концов, есть не что иное, как модусы первой фигуры. Сведение модусов других фигур к первой фигуре, вопреки мнению Лукасевича, есть второстепенное обстоятельство, или же как говорил Кант, die falsche Spitzfindigkeit.[289]

Что начало доказательства может быть, вместе с тем, и его исходным положением, это показывает вышерассмотренная система, которая начинает с бесконечного умозаключения и кончает положительным суждением. Но в данном случае, как было отмечено, логическая необходимость скрывается, не проявляется, система является аналитической и синтетичность теряется. Вместе с тем, все по существу находится в исходном положении, тогда как все должно осуществляться во всей системе.

Исходное положение и начало доказательства похожи друг на друга тем, что исходное есть первое в доказательстве и начало тоже есть первое доказательства. Ни первому ни второму логически ничего не предшествует. Но это следует понимать в различном смысле; исходному положению ничего не предшествует, поскольку с него начинается процесс доказательства; а начало доказательства есть его сущность, которой логически ничего не предшествует, но в другом смысле, а именно в том, что сущности доказательства не предшествует другое доказательство и его сущность. Исходное положение доказательства и начало подразумевают последующее, но в различном смысле; исходное положение подразумевает то, что начинается, а начало, как сущность, подразумевает «явления» — всё доказательство и его моменты.

Исходное положение доказательства «просто», а начало «сложно». Например, для Аристотеля дефиниция проста, а возможность одновременного утверждения-отрицания сложно логически; первое есть исходное, а второе — начало; тем более это можно сказать о логическом развитии.

В определенном смысле начало доказательства предшествует исходному положению, а вдругом смысле наоборот — исходное положение предшествует началу. Исходное положение предшествует началу, как сущности доказательства, поскольку последняя осуществляется выполнением доказательства, которое исходное положение только начинает. Начало доказательства, как его сущность, предшествует исходному положению, поскольку первое подчиняет себе каждый момент доказательства, включая и его исходное положение.

Понятия исходного положения и начала доказательства представлены в полной определенности в доказательстве, как в логическом развитии. Исходное положение доказательства подразумевает все в доказательстве, как последующее, поскольку оно есть именно исходный пункт всего. Начало же доказательства подразумевает все в доказательстве, поскольку оно есть сущность всего. Но исходным положением начинается доказательство, поэтому оно «просто»; начало же доказательства, как его сущность, должно быть сложным, логически сложным; оно должно иметь сложность единства утверждения-отрицания. Поэтому начало доказательства должно быть в его конце. Исходное положение находится в начале доказательства, а начало в его конце. Начало доказательства есть сущность его сложности и, понятно, само будет более всего сложным. Таково бесконечное умозаключение, как начало доказательства. Это умозаключение, как единство противоположностей, сложнее и конкретнее всего, поскольку оно есть логическая бесконечность, более которой логическая полнота невозможна.

Но поскольку сущность доказательства есть сущность всего доказательства, постольку она должна действовать не только в конце, а с начала до конца. Исходное положение доказательства есть начало доказательства в простом виде; начало доказательства, как начинающее его, есть исходное положение. Исходное положение есть исходное положение начала (об этом будет речь ниже).

Правда, начало доказательства, как его сущность, существует и действует в доказательстве с начала до конца, но оно представлено полностью только в конце. Поэтому начало доказательства есть исходное положение, развитое полностью. Правда, начало доказательства действует во всем доказательстве с начала до конца, но оно может быть представлено и в действительности представляется в виде отдельного положения, правила, закона или умозаключения. Таково бесконечное умозаключение, как начало доказательства, как это было показано выше, а именно, при рассмотрении логических форм мысли в их развитии.

Мы знаем и то, что логическое основание предшествует следствию, но основание, как оправдывающее, может быть и после следствия, так как возможен логический переход от следствия к основанию, от абстрактного кконкретному и т. п. Так что исходным положением может быть и следствие. Это так и есть в логическом развитии. Исходное, как следствие, переходит в свое основание и оправдывается в нем, и так далее до окончания доказательства, где и будет полностью представлено начало доказательства. Что это так, в этом мы убедились выше. Здесь мы хотим сказать, что понятия исходного положения и начала доказательства представлены в полном виде в системе логики, как в доказательстве, имеющем характер развития. Природу начала доказательства, как его сущности, мы выяснили при рассмотрении бесконечного умозаключения. Нам надо рассмотреть исходное положение доказательства, как исходный пункт логического развития; именно здесь окончательно выяснится понятие исходного; но, сперва надо выяснить несколько вопросов, рассмотрение которых должно предварить более точное рассмотрение понятия исходного положения логического развития.