Изучение трехмерных геометрических фигур в начальной школе

Все геометрические тела делятся на многогранники и тела вращения. Тела вращения — объемные тела, образующиеся из-за вращения плоской фигуры, ограниченной кривой, вокруг оси. Эта ось расположена в той же плоскости. При вращении контуров фигур вокруг собственной оси возникает поверхность вращения, а если вращать заполненные контуры — возникают объекты.

Трехмерные фигуры выделены двугранным или многогранным углом.

Двугранный угол – это пространственная геометрическая фигура, образованная двумя плоскостями, исходящими из одной прямой.

Многогранный угол – это фигура, составленная из N плоских углов, не лежащих в одной плоскости, причем несмежные углы не имеют общих точек. Общая точка этих углов называется вершиной.

Среди трехмерных фигур известны: призма, параллелепипед, куб, антипризма, пирамида, тетраэдр, икосаэдр, бипирамида, сфера, шар и другие. Плоские фигуры изучает планиметрия, а объемные — стереометрия.

Тела вращения— объёмные тела, возникающие при вращении замкнутой линии вокруг оси, лежащей в той же плоскости, что и вращающееся тело.

Цили́ндр (греч. kýlindros, валик, каток) — геометрическое тело, которое состоит из двух кругов, не лежащих в одной плоскости и совмещаемых параллельным переносом, и всех отрезков, соединяющих соответствующие точки этих кругов. Круги называются основаниями цилиндра, а отрезки, соединяющие соответствующие точки окружностей кругов, - образующими цилиндра.

Цилиндром называется фигура, полученная при вращении прямоугольника вокруг оси, содержащей его сторону.

Примеры тел, имеющих форму цилиндра: бочка, кружка, труба, свеча. Связанные определения:

Цилиндр называется прямым, если его образующие перпендикулярны плоскостям оснований.

Радиусом цилиндра называется радиус его основания.

Высотой цилиндра называется расстояние между его плоскостями.

Осью цилиндра называется прямая, проходящая через центр оснований. Она параллельна образующим.

Свойства:

Основания цилиндра равны.

У цилиндра основания лежат в параллельных плоскостях.

У цилиндра образующие параллельны и равны.

Поверхность цилиндра состоит из оснований и боковой поверхности. Боковая поверхность составлена из образующих.

Возьмем прямоугольник АВСD и будем вращать его вокруг одной из сторон, например вокруг стороны АВ. В результате получится тело, которое называется цилиндром.

Прямая АВ называется осью цилиндра, а отрезок АВ – его высотой.

При вращении стороны СD образуется поверхность, состоящая из отрезков, параллельных оси цилиндра. Её называют цилиндрической поверхностью или боковой поверхностью цилиндра, а отрезки, из которых она составлена – образующими цилиндра. Таким образом, цилиндр - это тело, ограниченное двумя равными кругами и цилиндрической поверхностью.

Ко́нус — тело, которое состоит из круга – основания конуса, точки, не лежащей в плоскости этого круга, - вершины конуса и всех отрезков, соединяющих вершину конуса с точками основания. Если основание конуса представляет собой многоугольник, конус становится пирамидой.

Связанные определения:

Отрезок, соединяющий вершину и границу основания, называется образующей конуса.

Объединение образующих конуса называется образующей (или боковой) поверхностью конуса. Образующая поверхность конуса является конической поверхностью.

Отрезок, опущенный перпендикулярно из вершины на плоскость основания (а также длина такого отрезка), называется высотой конуса.

Сечение конуса плоскостью, проходящей через его ось, называется осевым сечением.

Круговой конус — конус, основание которого является кругом.

Прямой круговой конус (часто его называют просто конусом) можно получить вращением прямоугольного треугольника вокруг прямой, содержащей катет (эта прямая представляет собой ось конуса).

Свойства:

Конус называется прямым, если прямая соединяющая вершину конуса с центром основания, перпендикулярна плоскости основания.

Образующие прямого конуса равны.

Боковая поверхность составлена из образующих.

Полная поверхность конуса состоит из основания и боковой поверхности.

Развертка конуса представляет собой круговой сектор, радиусом которого является образующая и круг.

Таким образом, конус — это тело, ограниченное кругом и конической поверхностью.

Шар и сфера

Шар — геометрическое тело, ограниченное поверхностью, все точки которой отстоят на равном расстоянии от центра. Это расстояние называется радиусом шара. Шар образуется вращением полукруга около его неподвижного диаметра. Этот диаметр называется осью шара, а его оба конца — полюсами шара. Поверхность шара называется сферой.

Связанные определения:

Если секущая плоскость проходит через центр шара, то сечение шара называется большим кругом. Другие плоские сечения шара называются малыми кругами.

Любой отрезок, соединяющий центр шара с точкой шаровой поверхности (сферы), называется радиусом.

Отрезок, соединяющий две точки шаровой поверхности и проходящей через центр шара, называется диаметром.

Концы любого диаметра называются диаметрально противоположными точками шара.

Плоскость, проходящая через центр шара, называется диаметральной плоскостью.

Свойства:

Всякое сечение шара плоскостью есть круг. Центр этого круга есть основание перпендикуляра, опущенного из центра шара на секущую плоскость.

Любая диаметральная плоскость шара является его плоскостью симметрии. Центр шар является его центром симметрии.

Касательная плоскость имеет с шаром только одну общую точку – точку касания.

Линия пересечения двух сфер есть окружность.

Сферой называется поверхность, состоящая из всех точек пространства, расположенных на данном расстоянии от данной точки (рис. 364). Данная точка называется центром сферы (точка О на рисунке 364), а данное расстояние — радиусом сферы (на рисунке 364 радиус сферы обозначен буквой R). Любой отрезок, соединяющий центр сферы с какой-либо её точкой, также называется радиусом сферы.

Отрезок, соединяющий две точки сферы и проходящий через её центр, называется диаметром сферы. (диаметр сферы радиуса R равен 2R).

Тело, ограниченное сферой, называется шаром. Центр, радиус и диаметр сферы называются также центром, радиусом и диаметром шара. Отметим также, что шар может быть получен вращением полукруга вокруг его диаметра. При этом сфера образуется в результате вращения полуокружности.

В отличие от боковых поверхностей цилиндра и конуса сферу нельзя развернуть так, чтобы получилась плоская фигура. Поэтому для сферы непригоден способ вычисления площади с помощью развёртки.

Из вышесказанного, можно сделать вывод, что одной из целей начального обучения математике является освоение окружающего пространства, развитие пространственных представлений. Этому служит изучение геометрического материала: знакомство с телами, поверхностями, линиями, выделение фигур определённой формы.

Основными задачами изучения трехмерных геометрических фигур в 1-4 классах являются:

1) формирование пространственных представлений и развитие воображения, умений наблюдать, сравнивать, абстрагировать и обобщать;

2) выработка у учащихся практических навыков измерения и построения геометрических фигур с помощью измерительных и чертежных инструментов;

3) формирование умений использовать наглядность в приобретении знаний.

Основой формирования у детей представлений о геометрических фигурах является способность их к восприятию формы. Эта способность позволяет ребенку узнавать, различать и изображать различные геометрические фигуры.