6.4.1. Вычислить несобственный интеграл .
Решение. Интеграл является несобственным, так как подынтегральная функция имеет в точке бесконечный разрыв.
6.4.2. Вычислить несобственный интеграл .
Решение. Интеграл является несобственным, так как подынтегральная функция имеет в точке бесконечный разрыв.
Замечание. В процессе замены интеграл стал определенным.
6.4.3. Вычислить несобственный интеграл .
Решение. Подынтегральная функция имеет бесконечный разрыв в точке
Так как , то интеграл расходится
Замечание. В результате замены несобственный интеграл от неограниченной функции стал интегралом с бесконечным верхним пределом.
6.4.4. Вычислить несобственный интеграл
Решение. Интеграл является несобственным, так как подынтегральная функция имеет в точке бесконечный разрыв.
Для вычисления интеграла надо применить интегрирование по частям.
1) 2) .
6.4.5. Исследовать на сходимость несобственный интеграл .
Решение. Функция непрерывна на промежутке и имеет бесконечный разрыв в точке (нижняя граница интегрирования). Интеграл является несобственным. На указанном промежутке выполняется неравенство . Поэтому подынтегральная функция удовлетворяет условию . Интеграл от вспомогательной функции сходится:
|
|
.
Следовательно, интеграл сходится.
6.4.6. Исследовать на сходимость интеграл .
Решение. Функция непрерывна на промежутке и имеет бесконечный разрыв в точке (верхняя граница интегрирования). Интеграл является несобственным. На промежутке интегрирования выполняется неравенство и . Несобственный интеграл от вспомогательной функции расходится:
,
следовательно, интеграл расходится.
6.4.7. Исследовать на сходимость интеграл .
Решение. Сделаем в этом интеграле замену переменной:
На промежутке подынтегральная функция .
В качестве вспомогательной функции можно взять , так как Интеграл расходится по признаку 6.2.4. Следовательно, также расходится на основании признака 6.3.2.