Энтропию можно применять совместно с одним из основных параметров для графического изображения процессов. Удобнее всего энтропию сочетать с абсолютной температурой Т. Если энтропию s откладывать по оси абсцисс, а абсолютную температуру—по оси ординат, то получаем координатную систему: Тs, т.е. Ts-диаграмму, где состояние газа графически изобразится точкой, а процесс — в виде кривой, уравнение которой можно представить как Т = f(s). Элементарная теплота процесса dq= Тds изобразится на диаграмме элементарной площадкой, высота которой равна Т, а основание ds (рис. 5.2). Поскольку количество тепла, подводимого в этом процессе
, (5.26)
то на Тs-диаграмме площадь 1234, ограниченная линией процесса, крайними ординатами и осью s, в некотором масштабе изображает теплоту, участвующую в процессе.
Из уравнения dq = Тds следует, что dq и ds имеют одинаковые знаки. Если в процессе энтропия s увеличивается, то теплота к газу подводится. Если энтропия s уменьшается, то это указывает на отвод теплоты от рабочего тела.
|
|
Для идеальных газов условно принято считать энтропию равной нулю при нормальных физических условиях.
ТЕРМОДИНАМИЧЕСКИЕ ПРОЦЕССЫ
ИДЕАЛЬНЫХ ГАЗОВ
Основные определения
Первый закон термодинамики устанавливает взаимосвязь между количеством теплоты, изменением внутренней энергии и внешней работой газа, причем количество теплоты, подводимое к телу или отводимое от него, зависит от характера процесса.
К основным процессам, имеющим большое значение, как для теоретических исследований, так и для практических работ в технике, относятся: изохорный, протекающий при постоянном объеме; изобарный, протекающий при постоянном давлении; изотермный, протекающий при постоянной температуре; адиабатный, протекающий при отсутствии теплообмена с внешней средой.
Кроме того, существует группа процессов, являющихся при определенных условиях обобщающими для основных процессов. Эти процессы называются политропными и характеризуются постоянством теплоемкости в процессе.
Изохорный процесс
Процесс, протекающий при постоянном объеме, называют изохорным (dυ = 0, или υ = const). Кривая процесса называется изохорой. На рис. 6.1 представлен график процесса.
Согласно закону Шарля, при постоянном объеме давление газа изменяется прямо пропорционально абсолютным температурам:
. (6.1)
Внешняя работа газа при υ=const равна нулю, так как dυ = 0, т.е. l=0.
Основное уравнение первого закона термодинамики (4.6) при d l = 0 принимает вид
|
|
dqυ = duυ = cυdt.
Количество теплоты, участвующее в процессе при постоянной теплоемкости, равно
. (6.2)
Вся внешняя теплота расходуется только на изменение внутренней энергии тела.
Если процесс 1-2, осуществляется с увеличением давления, теплота в нём подводится, при этом увеличивается внутренняя энергия и температура. Если давление газа в процессе понижается, то теплота отводится, уменьшается внутренняя энергия и температура (рис.6.1)
Изменение энтропии в изохорном процессе определяем из уравнения (5.21):
,
но при υ=const ln υ2/υ1=0, поэтому изменение энтропии при постоянной теплоемкости равно
. (6.3)
Как видно из данного уравнения, изохора на Тs-диаграмме представляет собой логарифмическую кривую.
Изобарный процесс
Рис. 6.2
Процесс, протекающий при постоянном давлении, называют изобарным (dр = 0, или р = const). Кривая процесса называется изобарой. На рис. 6.2 изображен график процесса.
Из уравнения состояния идеального газа для изобарного процесса находим
В соответствии с з аконом Гей-Люссака, в изобарном процессе объемы одного и того же количества газа изменяются прямо пропорционально абсолютным температурам:
(6.4)
При расширении газа его температура возрастает, при сжатии — уменьшается.
Удельная работа изменения объема при этом выражается следующим уравнением:
, (6.5)
или
. (6.6)
Основное уравнение первого закона термодинамики при р=const (dр=0) имеет вид
.
Следовательно, количество теплоты, сообщенное телу в изобарном процессе при постоянной теплоемкости, равно
; (6.7)
при переменной теплоемкости
. (6.8)
Для обратимого изобарного процесса при постоянной теплоемкости изменение энтропии находится по уравнению (5.23):
,
но при р = const lnp2/p1=0, поэтому
. (6.9)
Изобара на Тs-диаграмме также, как и изохора, изображается логарифмической кривой.
Площадь под изобарой в некотором масштабе изображает количество теплоты qр, сообщаемое газу, равное изменению энтальпии i 2- i 1.
Из сопоставления уравнений (6.3) и (6.9) следует, что в случае осуществления изохорного и изобарного процессов в одном интервале температур возрастание энтропии будет больше в изобарном процессе, так как ср всегда больше сυ. Изобары являются более пологими кривыми, чем изохоры (см. рис. 6.3).
Рис. 6.3
Изотермный процесс
Процесс, протекающий при постоянной температуре, называют изотермным (Т = const, или dТ = 0). Кривая процесса называется изотермой (рис. 6.4).
Для изотермного процесса объем газа изменяется обратно пропорционально его давлению (закон Бойля — Мариотта):
. (6.10)
На рυ-диаграмме изотермный процесс представляет собой равнобокую гиперболу.
|
dq=d l и q1-2= l 1-2.
Количество подведенной к идеальному газу теплоты численно равно работе изменения объема.
Зная уравнение изотермного процесса для идеального газа, и применяя уравнение состояния, определим удельную работу газа.
(6.11)
Энтальпия и внутренняя энергия идеального газа не меняются,
т. е. d i =0 и du = 0.
Изотермный процесс на Ts-диаграмме изображается горизонтальной прямой, параллельной оси абсцисс. Для определения изменения энтропии следует воспользоваться уравнениями (5.21) и (5.23) при T=const, после чего плучаем:
|
|
. (6.12)
Теплота, участвующая в изотермном процессе, равна произведению изменения энтропии (s2 – s1) на абсолютную температуру Т:
. (6.13)
Адиабатный процесс
Процесс, протекающий без подвода и отвода теплоты, т. е. при отсутствии теплообмена рабочего тела с окружающей средой, называют адиабатным, а кривая этого процесса называется адиабатой. Для получения адиабатного процесса необходимым и обязательным условием является dq = 0 и, следовательно, q= 0.
Обратимый адиабатный процесс можно осуществить в цилиндре с абсолютно нетеплопроводными стенками при бесконечно медленном перемещении поршня.
Уравнение адиабаты выводится на основе уравнения первого закона термодинамики и имеет вид:
pυk=const. (6.14)
При адиабатном процессе произведение давления на объем газа в степени k есть величина постоянная. Величину k называют показателем адиабаты. Показатель адиабаты k=cp/cυ (см. раздел5.5).
В соответствии с уравнением (6.14) адиабата в pυ – диаграмме графически изображена неравнобокой гиперболой АВ (см. рис. 6.5, а).
Рассмотрим зависимость между основными параметрами в адиабатном процессе.
Из уравнения адиабаты следует, что
. (6.15)
Зависимость между температурой, объёмом и давлением газа в процессе выражается соотношением:
. (6.16)
Уравнение первого закона термодинамики для адиабатного процесса принимает вид:
или
l = u1 – u2. (6.17)
Это значит, что работа изменения объема в адиабатном процессе получается за счет убыли внутренней энергии тела;
(6.18)
Если газ расширяется, то его внутренняя энергия и температура убывают; если газ сжимается, то его внутренняя энергия и температура возрастают.
|
|
Работу газа также можно определить из следующих соотношений:
(6.19)
или
(6.20)
Графически внешняя работа изображается на рυ-диаграмме пл. 12v2v1 (рис. 6.5, а).
Из рис. 6.5 видно, что поскольку в уравнении адиабаты k > 1, она на рυ-диаграмме идет круче, чем изотерма.
Для обратимого адиабатного процесса dq =0, поэтому
ds = dq/T = 0 и s2-s1 = const,
т. е. обратимый адиабатный процесс является одновременно изоэнтропным (или при постоянной энтропии) и изображается в Тs-диаграмме вертикальной прямой 1 – 2, параллельной оси ординат (см. рис. 6.5, б).
Рис. 6.5
Политропные процессы
Условились всякий процесс идеального газа, в котором теплоемкость является постоянной величиной, называть политропным процессом, а линию процесса — политропой.
Из определения политропного процесса следует, что основные термодинамические процессы — изохорный, изобарный, изотермический и адиабатный, если они протекают при постоянной теплоемкости, являются частными случаями политропного процесса.
Теплоемкость политропного процесса сn может принимать самые разнообразные положительные и отрицательные значения от + ∞ до - ∞.
В результате преобразования аналитических выражений первого закона термодинамики получаем выражение:
. (6.21)
Полученное уравнение является уравнением политропного процесса.
Величина n в уравнении (6.21) называется показателем политропы; он равен
(6.22)
Показатель политропы n принимает для каждого процесса определенное числовое значение. Для основных процессов: изохорных n=±∞, изобарных n = 0, изотермных n = 1 и адиабатных n = k.
Поскольку уравнение политропы отличается от уравнения адиабаты только величиной показателя n, то, очевидно, все соотношения между основными параметрами могут быть представлены формулами, аналогичными адиабатному процессу:
Теплоемкость политропного процесса определяем из формулы
. (6.23)
Уравнение (6.23) позволяет определить теплоемкость политропного процесса для каждого значения n.
Если в уравнение (6.23) подставить значения n для частных случаев, то получаем теплоемкости рассмотренных процессов:
изохорного процесса n=±∞, cn=сυ;
изобарного процесса n=0, cn=kсυ=cp;
изотермного процесса n=1, cn=±∞;
адиабатного процесса n=k, cn=0.
Уравнение работы изменения объема, совершаемой телом при политропном процессе, имеет аналогичный вид с уравнением работы в адиабатном процессе, т. е.
, (6.24)
или
(6.25)
Изменение внутренней энергии газа и теплота в политропном процессе определяются по формулам:
. (6.26)
Изменение энтальпии в политропном процессе
. (6.27)
Изменение энтропии газа в политропном процессе определяется по формуле
, (6.30)
или для конечного изменения состояния
. (6.31)