Розглянемо цей метод на такому прикладi.
Приклад. На рис. 6.2, a показано тягар А, який може рухатись пiд дiєю двох пружин в прямолiнiйних направляючих. Пружини до тягаря не прикрiпленi. Коефiцiєнти жорсткостi пружин вiдповiдно дорiвнюють с 1 i c 2. В початковий момент часу тягар знаходився в крайньому правому положеннi i був вiдпущений без початкової швидкостi.
В положеннi рiвноваги пружини не напруженi.
Знайти рiвняння руху тягаря i перiод його вiльних коливань за умови, що сили пружностi пружин описуються законом Гука.
Розв’язання. В положеннi рiвноваги пружини не напруженi i до тягаря не прикрiпленi. При русi тягаря направо вiд нуля до нього прикладена сила пружностi правої пружини, а при русi налiво вiд нуля - лiвої пружини. Характеристика сили пружностi складається з двох прямолiнiйних вiдрiзкiв (рис. 6.2, б).
Перiод коливань складається з чотирьох етапiв:
1) пiд дiєю правої пружини з крайнього правого положення в нульове;
2) пiд дiєю лiвої пружини з нульового положення в крайнє лiве;
3) пiд дiєю лiвої пружини з крайнього лiвого положення в нульове;
|
|
4) пiд дiєю правої пружини з нульового в крайнє праве положення.
Розглянемо рух тягаря на першому етапi з крайнього правого положення в нульове. Рух описується диференцiальним рiвнянням
m = - c 1 х,
тобто
+k 12 x = 0 , (6.6)
де
k 12 = c 1 /m.
Загальний розв’язок лiнiйного рiвняння (6.6) має вигляд:
х = C 1cos(k 1 t) +C 2sin(k 1 t). (6.7)
Знаходимо похiдну за часом:
=- C 1 k 1sin(k 1 t) + C 2 k 1cos(k 1 t). (6.8)
Згiдно початкових умов при t 0 = 0 x = x 0; = 0. Пiдставляємо їх в рiвняння (6.7) i (6.8), знаходимо C 1 = x 0, C 2= 0.
Значить
x = x 0cos(k 1 t); (6.9)
= - x 0 k 1sin(k 1 t).
Рух тягаря на цьому етапi вiдбувається протягом часу
0 ≤t τ 1,
де τ 1 - момент часу, коли тягар приходить в нульове положення. При цьому
0 = x 0cos(k 1 τ 1);
(τ 1) = - k 1 x 0sin(k 1 τ 1). (6.10)
З першого з цих рiвнянь знаходимо
k 1 τ 1 = π/ 2,
τ 1 = (π/ 2)/ k 1. (6.11)
Отже початковими умовами для другого етапу є
х = х (τ 1) = 0;
= (τ 1) = - k 1 x 0. (6.12)
Рух на цьому етапi описується диференцiальним рiвнянням
m = - c 2 х,
тобто
+k 22 x = 0, (6.13)
де позначено k 22 = c 2 /m.
Загальний розв’язок рiвняння (6.13) має вигляд:
x = C 3cos(k 2 t) + C 4sin(k 2 t). (6.14)
Знаходимо похiдну за часом
=- C 3 k 2sin(k 2 t) + C 4 k 2cos(k 2 t). (6.15)
Пiдставимо в (6.14) i (6.15) початковi умови (6.12) i знайдемо C 3 = 0, C 4 = - (k 1 /k 2) x 0. В цьому разi рiвняння (6.14) записується так:
x = - (k 1 /k 2) x 0sin(k 2 t). (6.16)
|
|
Рiвняння (6.16) описує рух на другому етапi пiд дiєю лiвої частини пружини з нульового положення в крайнє лiве. Цей рух здiйснюється на протязi часу 0 ≤t τ 2.
На другому етапi швидкiсть тягаря дорiвнює
При t = τ 2 маємо
х = х (τ 2); = (τ 2)= 0
i
x (τ 2) = - (k 1 /k 2) x 0sin(k 2 τ 2);
0 = - k 1 x 0cos(k 2 τ 2). (6.17)
З другого рiвняння (6.11) знаходимо
k 2 τ 2 = π/ 2, тобто τ 2 = (π/ 2)/ k 2. (6.18)
Пiдставляючи значення τ 2 в перше рiвняння (6.17), визначаємо
x (τ 2) = - (k 1 /k 2) x 0. (6.19)
Можна сказати, що в момент τ 2 тягар знаходиться в крайньому лiвому положеннi i його координата та швидкiсть дорiвнюють
(6.20)
Формули (6.20) є початковими умовами руху тягаря на третьому етапi пiд дiєю лiвої пружини з крайнього лiвого положення в нульове.
На наступних етапах тягар повторить дослiдженi уже рухи: третьому етапу руху тягаря вiдповiдає рiвняння руху, яке описується рiвнiстю (6.13), а четвертому етапу – рівняння руху, яке описується рiвнiстю (6.6). Шуканий перiод Т вiльних коливань тягаря дорiвнює 2(τ 1 +τ 2):
T = π (k 1 +k 2) / k 1 k 2, (6.21)
де