Вычисление ошибок арифметических действий

Сложение и вычитание. Абсолютная погрешность алгебраической суммы приближенных значений не превышает суммы абсолютных погрешностей этих значений.

Например, даны приближенные значения х = 235,4 и у = 79,1834, у которых все цифры являются верными в широком смысле. Найдем их сумму: S = 235,4 + 79,1834 = 314,5834. Для оценки точности результата вычислим сумму погрешностей слагаемых:

Δ_S = 0,1 + 0,0001 = 0,1001 < 0,2. Величина ошибки показывает, что в результате уже первый знак после занятой является сомнительным.

Из рассмотренного примера следует:

1) получение с помощью компьютера результата с большим числом значащих цифр еще не означает, что все эти цифры верны;

2) при вычислении сумм и разностей чисел с сильно различающимися абсолютными ошибками с целью экономии времени целесообразно «уравнивать» точность исходных данных путем округления более точных данных до точности менее точных (с одной - двумя запасными цифрами). Так, в рассмотренном выше примере имело смысл перед выполнением действия сложения округлить значение у до сотых: 79,18.

Умножение и деление. Пусть р = х · у – произведение двух приближенных чисел, а q =  - их частное. Предельная относительная погрешность произведения (частного) равна сумме предельных относительных погрешностей сомножителей (делимого и делителя), т.е. δ _{х · у} = δ _х/у = δ _х +   δ _у.

Оценка погрешностей значений функций

Вычисления по формулам нередко полагают нахождение значений различных математических функций.

Пусть функция f(x) дифференцируема в некоторой окрестности приближенного значения аргумента х, а Δ х – абсолютная погрешность значения аргумента. Тогда абсолютную погрешность значения функции можно вычислить по формуле: .   

Это равенство позволяет получить формулы для оценки предельных абсолютных погрешностей значений элементарных функций.

Например, пусть , тогда . Или, аналогично,  и т.д.