= Пример 2. Свободные затухающие колебания в электрическом колебательном контуре. Электрическое сопротивление реального контура R≠0, и, согласно (27.22), колебания заряда конденсатора описываются уравнением
(28.2)
где
Уравнения (28.1) и (28.2) тождественны по форме. Поэтому можно утверждать, что общее дифференциальное уравнение свободных затухающих колебаний рассмотренных линейных систем имеет вид
(28.3)
Здесь s — изменяющаяся при колебаниях физическая характеристика системы; — коэффициент затухания;ω 0 — циклическая частота свободных незатухающих колебаний той же системы, т. е. в отсутствие потерь энергии (при ).
вынужденных колебаний в электрическом колебательном контуре
| 1. Для осуществления вынужденных колебаний в электрическом колебательном контуре (см. § 27.3) в него нужно включить источник электрической энергии, э.д.с. ε которого изменяется с течением времени (рис. 28.6). В электротехнике источник электрической энергии, характеризующийся э.д.с. и внутренним электрическим сопротивлением, называется источником э.д.с. (источником напряжения). По закону Ома для участка I— R — L — 2 цепи квазистационарного электрического тока в контуре при вынужденных колебаниях
|
|
IR=φ1 – φ2 - L (t) (28.33)
Здесь φ1 – φ2 =q/C — разность потенциалов обкладок конденсатора, q — его заряд, а внутреннее электрическое сопротивление источника э. д.с. считается пренебрежимо малым по сравнению с R - такой источник э. д. с. называется идеальным. Из закона сохранения электрического заряда следует, что I= dq/dt. Поэтому дифференциальное уравнение вынужденных электрических колебаний в контуре можно представить в форме, аналогичной уравнению вынужденных механических колебаний (28.18):
(28.34)
Здесь β = R/(2L)— коэффициент затухания свободных колебаний в контуре.
a ω0 = циклическая частота свободных незатухающих колебаний (т. е. при R = 0).
2. Если вынуждающая э. д. с. (t) изменяется по гармоническому закону: (t) = 0cosΩtто при установившихся вынужденных колебаниях заряд конденсатора колеблется гармонически с той же циклической частотой Ω:
q=q0 cos(Ωt+φ0) (28.35)
Амплитуда Aи начальная фаза φ0 находятся по формулам, аналогичным (28.25):
|
|
tq φ0=-
Учитывая, что ω02 =1/(LC) и β=R/(2L), получаем
(28.36)
При Ω = 0 фаза φ0(0)=0 и q0(O) =ε0C — заряд конденсатора при постоянной разности потенциалов между обкладками, равной ε0. При Ω амплитуда q0 ,a . Графики зависимости q0 (Ω) и φ0 (Ω) показаны на рис. 28.4 и 28.5, где A = q0 (0)=ε0С.
3.Силу тока при установившихся вынужденных колебаниях в контуре найдем из (28.35):
(28.37)
Амплитуду тока I0=q0Ω и начальную фазу —φ=φ0 +π/2 найдем с помощью формул (28.36):
I0 = , (28.38)
tqφ=ctqφ0=
Графики зависимости I0 (q) при различных R называются резонансными кривыми колебательного контура (рис. 28.7). Графики зависимости φ(Ω) показаны на рис. 28.8. Резонансная циклическая частота Ωр, соответствующая максимуму амплитуды тока в контуре при вынужденных колебаниях, не зависит от R:
Ωp = ω0 = (28.39)
Амплитуда силы тока при резонансе I0(Ω0) — /R,а сдвиг фаз между силой тока и э. д. с. φ (Ωp)=0. Если Ω <ω0, то φ<0, т.е. сила тока опережает э. д. с. по фазе и тем сильнее, чем меньше Ω(φ=-π/2 при Ω=0). Если Ω>ω0, то φ> 0, т. е. сила тока отстает по фазе от э.д.с. и тем сильнее, чем больше Ω( ).
Вопросы:
1. Как влияет коэффициент затухания на условный период затухающих колебаний системы? Будет ли справедлива формула (28.10), если коэффициент затухания зависит от времени
2. Какова связь между добротностью колебательной системы и ее логарифмическим декрементом затухания?
3. Почему в теории вынужденных колебаний уделяют такое большое внимание случаю, когда внешнее воздействие на колебательную систему изменяется по гармоническому закону?
4. Как влияют активное сопротивление, электроемкость и индуктивность колебательного контура на его резонансные характеристики?
5. От чего зависит коэффициент мощности в цепи переменного тока?