Скалярное произведение двух векторов

 

Литература: [1]‚ гл. І‚ § 3

[2]‚ § 6

[9]‚ гл.·3‚ § 3.3

 

Скалярным произведением двух векторов  и  называется число, равное произведению модулей этих векторов на косинус угла между ними .

Свойства скалярного произведения:

1)  (коммутативность);

2)  (дистрибутивность);

3) , если  или , или  перпендикулярно ;

4) .

Первые три свойства показывают, что скалярное умножение суммы векторов на другую сумму можно производить по обычному правилу умножения многочленов.

Найдем выражение скалярного произведения векторов  и  в декартовых координатах. Для этого запишем разложение векторов  и  в базисе , ,  и с учетом свойства скалярного произведения получим

Учитывая, что

получим

Таким образом, скалярное произведение равно сумме произведений одноименных координат.

Скалярное произведение векторов используется при решении ряда задач:

1) нахождение угла между векторами  и :

;

2) вычисление проекции одного вектора на направление другого вектора:

;

3) проверка перпендикулярности двух векторов:

 ׀ , т.е. ;

4) вычисление работы постоянной силы  вдоль прямолинейного участка пути (вектор перемещения ):

.

Пример 13. Даны векторы  и . Найти проекцию вектора  на направление вектора .

Решение. Вначале найдем координаты вектора :

.

Затем, используя скалярное произведение, вычислим проекцию вектора  на направление вектора :

.

Пример 14. Даны вершины четырехугольника А (1, 2, 3), В (7, 3, 2), С (-3, 0, 6) и D (9, 2, 4) Доказать, что его диагонали АС и ВD взаимно перпендикулярны.

Решение. Определим координаты векторов 'и :

, .

Проверяем условие перпендикулярности ненулевых векторов :

.

Так как скалярное произведение векторов 'и  равно 0, они взаимно перпендикулярны.

Пример 15. Даны вершины треугольника А (3, 2, -3), В (5, 1, -1) и С (1, -2, 1). Найти внутренний угол при вершине А.

Решение. Искомый угол φ есть угол между векторами 'и . Найдем координаты этих векторов:

,

.

Используя скалярное произведение, находим угол φ:

,

.