Некоторые теоремы о дифференцируемых функциях

Здесь приводится ряд теорем, имеющих большое теоретическое и прикладное значение.

Теорема 3.1. (Ролля)

Если функция непрерывна на отрезке , дифференцируема на интервале и на концах отрезка принимает одинаковые значения , то найдется хотя бы одна точка , в которой производная обращается в нуль, то есть .

З а м е ч а н и е 3.1. Производная функции в точке – угловой коэффициента касательной к графику функции в точке (геометрический смысл производной: ).

Геометрический смысл теоремы Ролля заключается в том, что на графике функции найдется такая точка, в которой касательная параллельна оси , а именно, точка с координатами , в которой (см. Рис 3.1).

Рис 3.1

Теорема 3.2. (Коши)

Если функции и непрерывны на отрезке , дифференцируемы на интервале , причем , то найдется хотя бы одна точка такая, что выполняется равенство .

Теорема 3.3. (Лагранжа)

Если функция непрерывна на отрезке , дифференцируема на интервале и на концах отрезка принимает одинаковые значения , то найдется хотя бы одна точка , такая, что выполняется равенство .

Полученную в теореме Лагранжа формулу называют формулой конечных приращений или формулой Лагранжа. Если формулу Лагранжа записать в виде , тотеорема Лагранжа принимает простой геометрический смысл: на графике функции найдется точка , с координатами , в которой касательная параллельна секущей – прямой, проходящей через точки и (см. Рис 3.2).

Рис 3.2

Следствие 3.1. Если производная функции равна нулю на некотором промежутке, то функция постоянна на этом промежутке.

Следствие 3.2. Если две функции имеют равные производные на некотором промежутке, то они отличаются на постоянное слагаемое.

Далее приводятся способы раскрытия неопределенностей вида и , которые основаны на применении производных.

Теорема 3.4. (Правило Лопиталя раскрытия неопределенностей вида )

Пусть функции и непрерывна и дифференцируемы в окрестности точки и обращаются на отрезке , дифференцируемы на интервале , пусть также и в окрестности точки .