Одна из основных задач дифференциального исчисления – нахождение производной заданной функции. Множество вопросов математического анализа и приложений в разнообразных науках приводит к другой задаче: по данной функции найти такую функцию , производная которой равна функции .
Функция называется первообразной функции на интервале , если для любого выполняется равенство .
Например, первообразной функции , , является функция , так как .
Очевидно, что первообразными будут также любые функции , где – постоянная, поскольку
, .
Теорема 5.1. Если функция является первообразной функции на , то множество всех первообразных для задается формулой , где – постоянное число.
Множество всех первообразных функций для называется неопределенным интегралом от функции и обозначается символом .
Таким образом, по определению
.
Здесь называется подынтегральной функцией, – подынтегральным выражением, – переменной интегрирования, – знаком неопределенного интеграла (это стилизованная латинская буква , означающая суммирование).
Операция нахождения неопределенного интеграла от функции называется интегрированием этой функции. Интегрирование является операцией, обратной дифференцированию. Для проверки правильности выполнения интегрирования нужно продифференцировать результат и получить при этом подынтегральную функцию.
Геометрически неопределенный интеграл представляет собой семейство «параллельных» кривых , где каждому числовому значению соответствует определенная кривая семейства. График каждой первообразной (кривой) называется интегральной кривой.