Пусть функция задана на отрезке . Разобьем отрезок на произвольных частей точками:
.
В каждом частичном отрезке выберем произвольную точку :
, ,
и вычислим значение функции в ней, т.е. величину .
Умножим найденное значение функции на длину соответствующего частичного отрезка: .
Составим сумму всех таких произведений:
.
Эта сумма называется интегральной суммой функции на отрезке . Геометрический смысл величины указан на рис 6.1: это сумма площадей прямоугольников с основаниями и высотами ().
Рис. 6.1
Обозначим через длину наибольшего частичного отрезка:
.
Конечный предел интегральной суммы при , если он существует, называется определенным интегралом от функции на отрезке и обозначается . Таким образом,
.
Числа и называются соответственно нижним и верхним пределами интегрирования, – подынтегральной функцией, – подынтегральным выражением, – переменной интегрирования, отрезок – областью (отрезком) интегрирования.
|
|
Функция , для которой на отрезке существует определенный интеграл называется интегрируемой на этом отрезке.
Ответ на вопрос о том, какие функцииявляются интегрируемыми, дают следующие теоремы, которые мы приводим без доказательства.
Теорема 6.1 (Коши). Если функция непрерывна на отрезке , то она интегрируема на нем.
Теорема 6.2. Если определенная и ограниченная на отрезке функция имеет конечное число точек разрыва, то она интегрируема на этом отрезке.
Теорема 6.3. монотонная на отрезке функция интегрируема на этом отрезке.