Составление выражений для потенциальной энергии и

Отчет по Задаче №1 от 00.00.19

Студента группы ПРК-162 Иванова И.И.

по курсу «Прикладные методы расчета конструкций ракетно-космической техники»

Определение жёсткости линеаризованной системы типа Дуффинга

Цель задания: усвоение понятий потенциальной энергии, характеристик восстанавливающей силы, жёсткости и линеаризации механической системы (МС) с одной степенью свободы (рис. 1.1).

Задачи, которые необходимо решить в задании.

1. Составление точных и линеаризованных выражений для потенциальной энергии и характеристик восстанавливающей силы.

2. Исследование влияния параметров колебательной системы на потенциальную энергию и характеристику восстанавливающей силы нелинейной и линеаризованной в малом системы.

3. Определение диапазонов параметров, в которых заданную нелинейную механическую систему можно считать линейной.

Номинальные значения параметров МС на рис. 0.1 приведены в табл. 0.1.

Таблица 1.1. Исходные значения параметров МС

Параметр МС на рис. 0.1	Жёсткость пружины	Расстояние между опорами и	Начальное натяжение пружины	Масса бруска	Масса одного катка
Значение	10000	0,3	0	10	0,2

Рис.1.1. Нелинейная механическая система с одной степенью свободы. − брусок, абсолютно твёрдое тело (АТТ); − каток (АТТ); − пружина, упругое тело; − жёсткая вставка (АТТ)

Краткое описание конструкции и колебаний МС. Жёсткая вставка представляет собой втулку с левой и правой резьбой, в которую вкручены два стержня (болта). При вращении втулки стержни одновременно перемещаются внутрь втулки. Этим обеспечивается создание положительного начального натяжения . Если болты выходят из втулки, то создаётся отрицательное начальное натяжение (поджатие) пружины. При этом расстояние между опорами остаётся неизменным. При колебаниях этой консервативной системы брусок совершает поступательное движение, катки − плоскопараллельное, вставка − угловое, а точки пружины независимо перемещаются по двум осям и .

Составление выражений для потенциальной энергии и

характеристики восстанавливающей силы [1, c. 77]

По определению точное выражение для потенциальной энергии МС на рис. 0.1 запишется в виде

, (1.1)

(1.1)

где − деформация упругого элемента (пружины ).

Точное выражение для характеристики восстанавливающей силы находится как первая производная от потенциальной энергии

. (1.2)

(1.2)

Для нахождения приближённого выражения для потенциальной энергии линеаризованной в малом МС разложим (0.1) в ряд Тейлора в окрестности состояния статического равновесия (ряд Маклорена), в котором удержим члены степени не выше 2. Получим

. (1.3)

Т.к. потенциальная энергия МС известна с точностью до постоянного слагаемого то положим произвольно в (0.3) первое слагаемое равным нулю. Тогда

, (1.4)

в котором выражение

(1.5)

описывает жёсткость линеаризованной в малом (линейной) МС. Она значительно отличаются от жёсткости пружины наличием множителя . Т.к. , то жёсткость МС на рис. 0.1, рассматриваемой как линейная система, будет значительно меньше жёсткости пружины .