Линеаризованной в малом системы
Для исследования влияния параметров МС на потенциальную энергию использовалась формула (1.1), а на характеристику восстанавливающей силы − (1.2). При этом номинальные параметры МС (табл. 1.1) и уменьшались и увеличивались в 2 раза (рис. 1.1 а и 1.1 б), а − уменьшалось в 2 раза, а увеличивалось для наглядности в 5 раз (рис. 1.1 в).
Для того чтобы все кривые потенциальной энергии проходили через начало координат, из выражения (1.1) вычиталось содержащееся в ней слагаемое , которое не зависит от обобщённой координаты .
а) | б) | в) |
Рис. 1.2. Влияние параметров МС на точную потенциальную энергию системы:
− жёсткости пружины : ; ;
− расстояния : ; ; ;
− начального натяжения : ; ;
а) | б) | в) |
Рис. 1.3. Влияние параметров МС на точную характеристику восстанавливающей силы:
− жёсткости пружины : ; ;
− расстояния : ; ; ;
− начального натяжения : ; ;
Определение диапазона параметров линейности
МС на рис. 1.1 является нелинейной системой. Отклонения графиков потенциальной энергии от параболы, а восстанавливающей силы от прямой, начинаются сразу при отклонении обобщённой координаты от нуля. Поэтому нужно принять какую-то величину отклонения линеаризованных кривых от точных нелинейных, в пределах которой систему допустимо считать линейной. Обычно эта величина отклонения составляет . Графики на рис. 1.2 и 1.3 показывают, что наиболее круто семейства характеристик проходят при ; ; и . Построим для МС с такими параметрами точные и линеаризованные графики потенциальной энергии и восстанавливающей силы (рис. 1.4).
|
|
a) | б) |
Рис. 1.4. Сравнение точных и линеаризованных характеристик при специальном сочетании параметров , и : − потенциальной энергии; − восстанавливающей силы
Найдём допустимый диапазон обобщённой координаты , в котором с заданной погрешностью нелинейную МС на рис. 0.1 можно считать линейной. Для этого варьируя обобщённую координату, вычислим соответствующее расхождение между , и , .
,
.
Выводы
1. Увеличение жёсткости пружины и её начального натяжения в рассматриваемой МС сужает допустимый отрезок обобщённой координаты , на котором систему с заданной точностью можно считать линейной. Жёсткость линейной системы прямо зависит от жёсткости пружины и от её начального натяжения.
2. Уменьшение расстояния между опорами при сохранении жёсткости пружины также сужает допустимый отрезок обобщённой координаты , на котором систему с заданной точностью можно считать линейной. Жёсткость системы обратно зависит от расстояния между опорами.
|
|
3. При наиболее неблагоприятном сочетании параметров , , из рассматриваемых диапазонов их изменения с погрешностью за диапазон линейности можно принять отрезок изменения обобщённой координаты .