Пусть в пространстве задана ось l, т.е. направленная прямая.
Def.Проекцией точки М на ось l называется основание М1 перпендикуляра ММ1, опущенного из точки на ось. Если точка М лежит на оси, то проекция точки на ось совпадает с М.
М
М1 l
Пусть - произвольный ненулевой вектор.
Def.Проекцией вектора на ось l называется скалярная величина, равная произведению модуля проектируемого вектора на косинус угла между положительным направлением оси и вектора (или величина направленного отрезка A’B’ (где АA’^ l, BB’^ l).
Проекция вектора на ось положительна (отрицательна), если вектор образует с осью острый (тупой) угол, и равна нулю, если этот угол прямой. Таким образом, проекция вектора на ось – это число, равное длине отрезка А’В’, взятое со знаком «+», если направление A’B’ совпадает с направлением оси l, и со знаком «-», если эти направления противоположны.
|
|
В
A пр аl = ç ç cos j
A’ B’
Проекции равных векторов равны между собой.
Рассмотрим в пространстве прямоугольную систему координат Oxyz. Выделим на координатных осях единичные векторы (орты), обозначив их соответственно. Выберем произвольный вектор пространства и совместим его начало с началом координат: .
Обозначим проекции вектора на оси координат Ox, Oy, Oz соответственно , т.е. ,
,
.
Так как , то
(4.1)
Формула (4.1) является основной в векторном исчислении и называется разложением вектора по ортам координатных осей.
Числа называются координатами вектора. Таким образом, координаты вектора есть его проекции на соответствующие координатные оси.
Равенство (4.1) можно записывать в виде: (4.2).
Def.Модуль вектора равен арифметическому значению квадратного корня из суммы квадратов его проекций на оси координат, т.е.
(4.3)
Если a, b, g - соответственно углы, образованные вектором с координатными осями Ox, Oy, Oz прямоугольной системы координат, то по определению проекции вектора на ось имеем:
(4.4)
Или (4.5)
Def. Косинусы углов, образованных вектором с координатными осями, называются направляющими косинусами этого вектора.
|
|
Для них справедливо утверждение: сумма квадратов направляющих косинусов ненулевого вектора равна единице:
(4.6)