Представление вектора в координатной форме

   Если для вектора  известны координаты его начала A(x₁;y₁;z₁) и конца B(x₂;y₂;z₂), то проекции вектора на координатные оси определяются по формулам:

        (4.7)

(т.е. координаты вектора равны разностям соответствующих координат его конца и начала)

                      В этом случае:

     (4.8)

Линейные операции над векторами, заданными в координатной форме.

Пусть даны векторы , ,

(или в виде , ). Тогда

1) ,

Или              (4.9)

 (т.е. при сложении (вычитании) векторов их одноимённые координаты складываются (вычитаются))

2)  

или                      (4.10)

(т.е. при умножении вектора на скаляр координаты вектора умножаются на этот скаляр).

 

Def. Два вектора  называются равны (), тогда и только тогда, когда равны их соответствующие координаты, т.е.

(4.11)

 

Рассмотрим условие коллинеарности векторов, заданных своими координатами: проекции коллинеарных векторов пропорциональны, и обратно, векторы, имеющие пропорциональные координаты, коллинеарны.

 (4.12)

 

Скалярное произведение векторов и его свойства.

Def. Скалярным произведением  двух ненулевых векторов  называется число, равное произведению модулей этих векторов на косинус угла между ними.

(4.13)

 

Выражение скалярного произведения в координатной форме: если векторы заданы в координатной форме: , , то скалярное произведение этих векторов равно сумме произведений их одноимённых координат, т.е.

(4.14)

 

Свойства скалярного произведения:

1. - переместительное свойство;

2. - распределительное свойство;

3. - сочетательное свойство относительно скалярного множителя (постоянный множитель можно вынести за знак скалярного произведения);

4. - скалярный квадрат вектора равен квадрату его длины.

 

Некоторые приложения скалярного произведения:

1) Косинус угла между векторами и  определяется по формуле:

  (4.15)

2) Условие перпендикулярности двух ненулевых векторов  и  имеет вид:

 Û           (4.16)

(если векторы перпендикулярны, то их скалярное произведение равно нулю, и обратно, если скалярное произведение ненулевых векторов равно нулю, то они взаимно перпендикулярны)