1.2.1 Определение. Векторы , , …, называются линейно зависимыми, если существуют числа , , …, , не равные одновременно нулю, для которых выполняется равенство
+ + … + = . (1)
Если же равенство (1) выполняется только для , , …, , то векторы , , …, называются линейно независимыми.
Основной признак, которым полезно пользоваться при установлении линейной зависимости (независимости) векторов, заключается в следующем.
1.2.2 Теорема. Векторы , , …, линейно зависимы тогда и только тогда, когда один из них является линейной комбинацией остальных.
1.2.3 Пример. Пусть и – ненулевые векторы. Тогда следующие условия равносильны.
Векторы и линейно зависимы. . .
Доказательство проведем по схеме .
. Если и линейно зависимы, то существуют числа и , такие, что . Так как и – ненулевые векторы, то в этом равенстве и и из него получим , где .
. Из равенства и условия следует, что .
. Пусть . Умножим вектор на число , если и одинаково направлены, и на , если и направлены противоположно. Тогда векторы и , имеющие одинаковые длины, равны, т.е. , что означает линейную зависимость векторов и .
|
|
Таким образом, любые два коллинеарных вектора линейно зависимы. То же самое можно сказать о любых трех компланарных векторах.
Упражнения
1.3.1 Построить векторы + и – , если:
1.3.2 Проверить геометрически справедливость следующих равенств:
1) ( + )+( – )=2 ; 3) + = ( + )/2;
2) ( + )– ( – )=2 ; 4) ( – )/2+ = ( + )/2.
1.3.3 Найти условия, которым должны удовлетворять векторы и , если:
1) ; 2) ; 3) .
1.3.4 Пусть – произвольный треугольник, К, L, М – середины сторон , , соответственно, – точка пересечения медиан этого треугольника. Доказать, что
1) = + ; 3) + + = ;
2) + + = ; 4) + + = .
1.3.5 Дан параллелограмм . Пусть = , = . Выразить векторы , , , через векторы , .
1.3.6 Доказать, что векторы , , …, линейно зависимы, если хотя бы один из них нулевой.
1.3.7 Доказать, что если некоторое непустое подмножество векторов из множества , , …, линейно зависимо, то и все векторы в целом линейно зависимы.
1.3.8 Доказать, что векторы , , …, линейно зависимы, если среди них есть хотя бы два противоположных вектора.
1.3.9 Доказать, что если векторы , , …, линейно независимы, то любое непустое подмножество из них также линейно независимо.
Контрольные задания
Рекомендуемая литература [1, гл. 1, §1], [2, гл. 2, §§2.1–2.4], [3, гл. I, §1.3].
1.4.1 Выбрать два произвольных неколлинеарных вектора , и построить вектор , где
1) =1, =1; 2) = –1, =1; 3) = –1, = –1; 4) = – , =3.
1.4.2 Пусть – параллелограмм, – точка пересечения его диагоналей АС и BD. Доказать, что
|
|
1) = ; 3) + = ;
2) − + = ; 4) – = ;
5) коллинеарен , где =2 –3 , = – .
1.4.3 Пусть – произвольный четырехугольник, и – середины сторон AB и CD соответственно. Доказать, что .
1.4.4 Пусть – треугольник, М - точка пересечения его медиан, О – произвольная точка, = , = , = . Выразить вектор через векторы , , .
1.4.5 Доказать, что векторы , , …, линейно зависимы, если хотя бы два на них равны.