Конечно-разностный метод Эйлера
Пусть дана простейшая вариационная задача: найти экстремум функционала
(8)
с заданными граничными условиями:
(9)
где F (x, y, y ¢) — непрерывная функция трёх переменных и дифференцируемая функция двух своих последних аргументов.
Решаем задачу методом Эйлера – значения функционала (8) рассматриваются не на произвольных, допустимых в данной вариационной задаче кривых, а лишь на ломаных, составленных из заданного числа N прямолинейных звеньев, с заданными абсциссами вершин
, где .
На этих ломаных функционал (8) превращается в функцию ординат вершин ломаной. Ординаты выбираются так, чтобы функция достигала экстремума, т. е. они определяются из системы уравнений
(ординаты и известны из граничных условий ).
Метод Ритца
Метод Ритца представляет собой один из методов построения минимизирующей последовательности для функционала.
Решение уравнения
|
|
, (6)
где А — положительный оператор, сводится к нахождению минимума функционала
, (7)
где скалярное произведение
. (8)
Эту последнюю задачу будем приближенно решать следующим образом. Выберем последовательность
, (9)
координатных функций, принадлежащих области определения оператора DA; подчиним эту последовательность двум условиям:
1. последовательность (9) полна по энергии;
2. при любом n функции линейно независимы.
Построим линейную комбинацию первых n координатных функций
(10)
с произвольными численными коэффициентами aj. Подставим un (P) вместо u (P) в функционал (7); это превратит F (u) в функцию n независимых переменных a1, a2, …, an:
. (11)
Выберем коэффициенты aj так, чтобы функция (11) приняла минимальное значение. Функция (11) достигает минимума при тех значениях независимых переменных, которые обращают в нуль ее первые производные:
. (12)
Уравнения (12) дают, как известно, необходимые условия минимума F(un). Однако, используя положительность оператора A, можно доказать, что коэффициенты aj, удовлетворяющие системе (12), реализуют минимум величины F (un).
Соотношения (12) представляют собой систему линейных алгебраических уравнений
. (13)
Определитель системы (13) есть определитель Грамма линейно независимых функций и потому отличен от нуля. Отсюда следует, что система уравнений Ритца всегда разрешима, если оператор А — положительный.
|
|
Найдя коэффициенты a1, a2, …, an и подставив их в (10), получим функцию un (P), которую будем называть приближенным решением уравнения (6) по Ритцу.