Применение приближенных методов требует предварительного выбора системы координатных функций. От удачного или не удачного выбора такой системы зависит успех приближенного метода. Выскажем некоторые соображения, которые могут быть полезны на практике [3]:
Система функций (x – a) m (b – x) mxk полна по энергии оператора
при краевых условиях u ( k )(a) = u ( k )(b) = 0, k = 0,1,2,…,(m – 1).
Пусть в некоторой области Ω рассматривается задача Дирихле для уравнения Пуассона при условии, что на границе S области Ω искомая функция равна нулю.
Полную по энергии систему координатных функций можно построить таким образом. Пусть w (x,y) — функция, равная нулю в точках границы S и положительная во внутренних точках области Ω; примем еще, что эта функция непрерывна в замкнутой области , а ее первые производные непрерывны и ограничены внутри Ω. Тогда система функций w (x,y) xkyl, k,l = 1,2,… полна по энергии в Ω.
Варианты заданий для курсовой работы
Вариант № 1.
Задача 1.
Найти точно и приближенно экстремаль функционала с закрепленной границей
|
|
.
1. Привести вывод уравнения Эйлера. Решить соответствующую краевую задачу.
2. Подробно описать методику решения вариационной задачи конечно-разностным методом Эйлера. Найти приближенное решение методом Эйлера.
Показать сходимость полученного приближенного решения к точному при возрастании числа элементов, используемых в аппроксимации. Построить графики решений.
Задача 2.
Уравнение
описывает отклонение балки, покоящейся на упругом основании жесткостью k. Здесь EJ — постоянная жесткость балки на изгиб, а q — поперечная нагрузка на единицу ее длины.
1. Привести вывод уравнения изгиба балки, лежащей на упругом основании.
2. Пусть балка имеет единичную длину и свободно оперта на концах. Краевые условия, соответствующие свободно опертой балке, имеют вид при x = 0 и x = 1. Подробно описать методику решения вариационной задачи методом Ритца. Используя метод Ритца, найти отклонение балки, если .
3. Построить точное решение задачи и сравнить его с полученными приближенными решениями.
Вариант № 2.
Задача 1.
Найти точно и приближенно экстремаль функционала с закрепленной границей
.
1. Привести вывод уравнения Эйлера. Решить соответствующую краевую задачу.
2. Подробно описать методику решения вариационной задачи конечно-разностным методом Эйлера. Найти приближенное решение конечно-разностным методом Эйлера.
Показать сходимость полученного приближенного решения к точному при возрастании числа элементов, используемых в аппроксимации. Построить графики решений.
|
|
Задача 2.
Уравнение
описывает отклонение балки, покоящейся на упругом основании жесткостью k. Здесь EJ — постоянная жесткость балки на изгиб, а q — поперечная нагрузка на единицу ее длины.
1. Привести вывод уравнения изгиба балки, лежащей на упругом основании.
2. Пусть балка имеет единичную длину и защемлена в обоих концах так, что при x = 0 и x = 1. Подробно описать методику решения вариационной задачи методом Бубнова-Галеркина. Используя метод Бубнова-Галеркина, найти отклонение балки, если .
3. Построить точное решение задачи и сравнить его с полученными приближенными решениями.
Вариант № 3.
Задача 1.
Найти точно и приближенно экстремаль функционала с закрепленной границей
.
1. Привести вывод уравнения Эйлера. Решить соответствующую краевую задачу.
2. Подробно описать методику решения вариационной задачи конечно-разностным методом Эйлера. Найти приближенное решение конечно-разностным методом Эйлера.
Показать сходимость полученного приближенного решения к точному при возрастании числа элементов, используемых в аппроксимации. Построить графики решений.
Задача 2.
Подробно описать методику решения вариационной задачи методом Ритца. Используя метод Ритца, найти решение уравнения Лапласа в прямоугольнике , если на границе этого прямоугольника функция принимает следующие значения
.
Построить точное решение задачи. Исследовать сходимость приближенного решения и сравнить его с точным решением
.
Построить графики решений. В численных расчетах принять A = 1, B = 1, a = b = 1.
Вариант № 4.
Задача 1.
Найти точно и приближенно экстремаль функционала с закрепленной границей
.
1. Привести вывод уравнения Эйлера. Решить соответствующую краевую задачу.
2. Подробно описать методику решения вариационной задачи конечно-разностным методом Эйлера. Найти приближенное решение конечно-разностным методом Эйлера.
Показать сходимость полученного приближенного решения к точному при возрастании числа элементов, используемых в аппроксимации. Построить графики решений.
Задача 2.
В некоторой двумерной задаче стационарной теплопроводности для квадрата со стороной длины 2 температура на сторонах x = ± 1 изменяется как 1 – y2, а на сторонах y = ± 1 – как 1 – x2.
1. Привести вывод стационарного уравнения теплопроводности.
2. Подробно описать методику решения вариационной задачи методом Ритца. Используя метод Ритца и аппроксимацию, удовлетворяющую граничным условиям, найти распределение температуры на квадрате.
3. Построить графики приближенных решений.
Вариант № 5.
Задача 1.
Найти точно и приближенно экстремаль функционала с закрепленной границей
.
1. Привести вывод уравнения Эйлера. Решить соответствующую краевую задачу.
2. Подробно описать методику решения вариационной задачи конечно-разностным методом Эйлера. Найти приближенное решение конечно-разностным методом Эйлера.
Показать сходимость полученного приближенного решения к точному при возрастании числа элементов, используемых в аппроксимации. Построить графики решений.
Задача 2.
Решить задачу стационарной теплопроводности в материале, занимающем квадрат | x | £ 1, | y | £ 1, если на сторонах y = ±1 поддерживается температура 1000С, тогда как на сторонах x = ± 1 задано условие .
1. Привести вывод стационарного уравнения теплопроводности.
2. Подробно описать методику решения вариационной задачи методом Ритца. Методом Ритца найти распределение температуры на квадрате, используя аппроксимацию, удовлетворяющую краевым условиям только на сторонах y = ± 1. Показать сходимость аппроксимации к краевому условию на сторонах x = ± 1.
3. Построить графики приближенных решений.
Вариант № 6.
|
|
Задача 1.
Найти точно и приближенно экстремаль функционала с закрепленной границей
.
1. Привести вывод уравнения Эйлера. Решить соответствующую краевую задачу.
2. Подробно описать методику решения вариационной задачи конечно-разностным методом Эйлера. Найти приближенное решение конечно-разностным методом Эйлера.
Показать сходимость полученного приближенного решения к точному при возрастании числа элементов, используемых в аппроксимации. Построить графики решений.
Задача 2.
1. Привести вывод уравнения и граничных условий для задачи кручения стержня.
2. Построить точное решение задачи о кручении стержня прямоугольного сечения: .
3. Подробно описать методику решения вариационной задачи методом Ритца.
4. Решить методом Ритца задачу о кручении стержня прямоугольного сечения: . В качестве координатных функций взять полиномы.
5. Исследовать сходимость полученного приближенного решения и сравнить его с точным решением.
6. Вычислить крутящий момент .
7. Исследовать решение в зависимости от отношения сторон прямоугольника. Рассмотреть случай очень узкого прямоугольника.
Вариант № 7.
Задача 1.
Найти точно и приближенно экстремаль функционала с закрепленной границей
.
1. Привести вывод уравнения Эйлера. Решить соответствующую краевую задачу.
2. Подробно описать методику решения вариационной задачи конечно-разностным методом Эйлера. Найти приближенное решение конечно-разностным методом Эйлера.
Показать сходимость полученного приближенного решения к точному при возрастании числа элементов, используемых в аппроксимации. Построить графики решений.
Задача 2.
Подробно описать методику решения краевой задачи методом Бубнова-Галеркина.
Используя приближенный метод Бубнова-Галеркина, найти решение задачи Дирихле в квадрате 0 £ x £ l, 0 £ y £ l
при краевых условиях .
Построить точное решение задачи. Исследовать сходимость приближенного решения и сравнить его с точным решением
.
Построить графики решений, приняв .
Вариант № 8.
|
|
Задача 1.
Найти точно и приближенно экстремаль функционала с закрепленной границей
.
1. Привести вывод уравнения Эйлера. Решить соответствующую краевую задачу.
2. Подробно описать методику решения вариационной задачи конечно-разностным методом Эйлера. Найти приближенное решение конечно-разностным методом Эйлера.
Показать сходимость полученного приближенного решения к точному при возрастании числа элементов, используемых в аппроксимации. Построить графики решений.
Задача 2.
Подробно описать методику решения задачи методом Бубнова-Галеркина.
Используя приближенный метод Бубнова-Галеркина, найти решение задачи Дирихле в прямоугольнике 0 £ x £ a, 0 £ y £ b
при краевых условиях
.
Исследовать сходимость приближенного решения; построить графики приближенных решений.
Найти точное решение задачи и сравнить его с приближенным.
Вариант № 9.
Задача 1.
Найти точно и приближенно экстремаль функционала с закрепленной границей
.
1. Привести вывод уравнения Эйлера. Решить соответствующую краевую задачу.
2. Подробно описать методику решения вариационной задачи конечно-разностным методом Эйлера. Найти приближенное решение конечно-разностным методом Эйлера.
Показать сходимость полученного приближенного решения к точному при возрастании числа элементов, используемых в аппроксимации. Построить графики решений.
Задача 2.
Подробно описать методику решения краевой задачи методом Бубнова-Галеркина.
Используя приближенный метод Бубнова-Галеркина, найти решение уравнения Лапласа в квадрате 0 < x < 1, 0 < y < 1, если на границе этого квадрата решение принимает следующие значения
.
Исследовать сходимость приближенного решения; построить графики приближенных решений.
Найти точное решение задачи и сравнить его с приближенным.
Вариант № 10.
Задача 1.
Найти точно и приближенно экстремаль функционала с закрепленной границей
.
1. Привести вывод уравнения Эйлера. Решить соответствующую краевую задачу.
2. Подробно описать методику решения вариационной задачи конечно-разностным методом Эйлера. Найти приближенное решение конечно-разностным методом Эйлера.
Показать сходимость полученного приближенного решения к точному при возрастании числа элементов, используемых в аппроксимации. Построить графики решений.
Задача 2.
Подробно описать методику решения задачи методом Ритца.
Используя вариационный метод Ритца, найти решение уравнения Пуассона в квадрате 0 £ x £ 1, 0 £ y £ 1
при краевых условиях . Исследовать сходимость приближенного решения; построить графики.
Построить точное решение задачи и сравнить его с приближенным.
Вариант № 11.
Задача 1.
Найти точно и приближенно экстремаль функционала с закрепленной границей
.
1. Привести вывод уравнения Эйлера. Решить соответствующую краевую задачу.
2. Подробно описать методику решения вариационной задачи конечно-разностным методом Эйлера. Найти приближенное решение конечно-разностным методом Эйлера.
Показать сходимость полученного приближенного решения к точному при возрастании числа элементов, используемых в аппроксимации. Построить графики решений.
Задача 2.
Подробно описать методику решения задачи методом Ритца.
Используя вариационный метод Ритца, найти решение уравнения Пуассона в квадрате 0 £ x £ 5, 0 £ y £ 5
при краевых условиях . Исследовать сходимость приближенного решения; построить графики.
Построить точное решение задачи и сравнить его с приближенным.
Вариант № 12.
Задача 1.
Найти точно и приближенно экстремаль функционала с закрепленной границей
.
1. Привести вывод уравнения Эйлера. Решить соответствующую краевую задачу.
2. Подробно описать методику решения вариационной задачи конечно-разностным методом Эйлера. Найти приближенное решение конечно-разностным методом Эйлера.
Показать сходимость полученного приближенного решения к точному при возрастании числа элементов, используемых в аппроксимации. Построить графики решений.
Задача 2.
Подробно описать методику решения задачи методом Ритца.
Используя вариационный метод Ритца, найти решение уравнения Гельмгольца в квадрате 0 £ x £ 2, 0 £ y £ 2
при краевых условиях . Исследовать сходимость приближенного решения; построить графики.
Построить точное решение задачи и сравнить его с приближенным.
Вариант № 13.
Задача 1.
Найти точно и приближенно экстремаль функционала с закрепленной границей
.
1. Привести вывод уравнения Эйлера. Решить соответствующую краевую задачу.
2. Подробно описать методику решения вариационной задачи конечно-разностным методом Эйлера. Найти приближенное решение конечно-разностным методом Эйлера.
Показать сходимость полученного приближенного решения к точному при возрастании числа элементов, используемых в аппроксимации. Построить графики решений.
Задача 2.
Подробно описать методику решения краевой задачи методом Бубнова-Галеркина.
Используя приближенный метод Бубнова-Галеркина, найти решение уравнения Гельмгольца в квадрате 0 £ x £ 3, 0 £ y £ 3
при краевых условиях . Исследовать сходимость приближенного решения; построить графики.
Построить точное решение задачи и сравнить его с приближенным.
Вариант № 14.
Задача 1.
Найти точно и приближенно экстремаль функционала с закрепленной границей
.
1. Привести вывод уравнения Эйлера. Решить соответствующую краевую задачу.
2. Подробно описать методику решения вариационной задачи конечно-разностным методом Эйлера. Найти приближенное решение конечно-разностным методом Эйлера.
Показать сходимость полученного приближенного решения к точному при возрастании числа элементов, используемых в аппроксимации. Построить графики решений.
Задача 2.
Подробно описать методику решения краевой задачи методом Ритца.
Используя вариационный метод Ритца, найти решение задачи Дирихле в прямоугольнике 0 £ x £ 3, 0 £ y £ 5
при краевых условиях . Исследовать сходимость приближенного решения; построить графики.
Построить точное решение задачи и сравнить его с приближенным.
Вариант № 15.
Задача 1.
Найти точно и приближенно экстремаль функционала с закрепленной границей
.
1. Привести вывод уравнения Эйлера. Решить соответствующую краевую задачу.
2. Подробно описать методику решения вариационной задачи конечно-разностным методом Эйлера. Найти приближенное решение конечно-разностным методом Эйлера.
Показать сходимость полученного приближенного решения к точному при возрастании числа элементов, используемых в аппроксимации. Построить графики решений.
Задача 2.
Привести вывод уравнения и граничных условий для задачи кручения стержня.
Подробно описать методику решения краевой задачи методом Ритца.
Используя вариационный метод Ритца, решить задачу о кручении стержня прямоугольного сечения
.
В качестве координатных функций взять полиномы.
Исследовать сходимость полученного приближенного решения и сравнить его с точным решением (предварительно построив точное решение задачи). Построить графики.
Вычислить интеграл
.
Вариант № 16.
Задача 1.
Найти точно и приближенно экстремаль функционала с закрепленной границей
.
1. Привести вывод уравнения Эйлера. Решить соответствующую краевую задачу.
2. Подробно описать методику решения вариационной задачи методом Ритца. Найти приближенное решение методом Ритца.
Показать сходимость полученного приближенного решения к точному при возрастании числа элементов, используемых в аппроксимации. Построить графики решений.
Задача 2.
Дать вывод уравнения изгиба балки, лежащей на упругом основании; сформулировать основные типы граничных условий.
Подробно описать методику решения краевой задачи методом Бубнова-Галеркина.
Используя приближенный метод Бубнова-Галеркина, найти решение уравнения
на отрезке при граничных условиях на концах отрезка.
Построить точное решение и сравнить его с приближенным. Построить графики.
Вариант № 17.
Задача 1.
Найти точно и приближенно экстремаль функционала с закрепленной границей
.
1. Привести вывод уравнения Эйлера. Решить соответствующую краевую задачу.
2. Подробно описать методику решения вариационной задачи конечно-разностным методом Эйлера. Найти приближенное решение конечно-разностным методом Эйлера.
Показать сходимость полученного приближенного решения к точному при возрастании числа элементов, используемых в аппроксимации. Построить графики решений.
Задача 2.
Подробно описать методику решения вариационной задачи методом Ритца. Используя вариационный метод Ритца, найти экстремали функционала
.
Исследовать сходимость. Построить графики.
Получить уравнение Эйлера для функционала, сформулировать соответствующую краевую задачу и построить точное решение.
Сравнить полученные точное и приближенное решения.
Вариант № 18.
Задача 1.
Найти точно и приближенно экстремаль функционала с закрепленной границей
.
1. Привести вывод уравнения Эйлера. Решить соответствующую краевую задачу.
2. Подробно описать методику решения вариационной задачи конечно-разностным методом Эйлера. Найти приближенное решение конечно-разностным методом Эйлера.
Показать сходимость полученного приближенного решения к точному при возрастании числа элементов, используемых в аппроксимации. Построить графики решений.
Задача 2.
Подробно описать методику решения вариационной задачи методом Ритца. Используя вариационный метод Ритца, найти экстремали функционала
.
Исследовать сходимость. Построить графики.
Получить уравнение Эйлера для функционала, сформулировать соответствующую краевую задачу и построить точное решение.
Сравнить полученные точное и приближенное решения.
Вариант № 19.
Задача 1.
Найти точно и приближенно экстремаль функционала с закрепленной границей
.
1. Привести вывод уравнения Эйлера. Решить соответствующую краевую задачу.
2. Подробно описать методику решения вариационной задачи конечно-разностным методом Эйлера. Найти приближенное решение конечно-разностным методом Эйлера.
Показать сходимость полученного приближенного решения к точному при возрастании числа элементов, используемых в аппроксимации. Построить графики решений.
Задача 2.
Подробно описать методику решения вариационной задачи методом Ритца. Используя вариационный метод Ритца, найти экстремали функционала
.
Исследовать сходимость. Построить графики.
Получить уравнение Эйлера для функционала, сформулировать соответствующую краевую задачу и построить точное решение.
Сравнить полученные точное и приближенное решения.
Вариант № 20.
Задача 1.
Найти точно и приближенно экстремаль функционала с закрепленной границей
.
1. Привести вывод уравнения Эйлера. Решить соответствующую краевую задачу.
3. Подробно описать методику решения вариационной задачи конечно-разностным методом Эйлера. Найти приближенное решение конечно-разностным методом Эйлера.
Показать сходимость полученного приближенного решения к точному при возрастании числа элементов, используемых в аппроксимации. Построить графики решений.
Задача 2.
Подробно описать методику решения вариационной задачи методом Ритца. Используя вариационный метод Ритца, найти экстремали функционала
.
Исследовать сходимость. Построить графики.
Получить уравнение Эйлера для функционала, сформулировать соответствующую краевую задачу и построить точное решение.
Сравнить полученные точное и приближенное решения.
Вариант № 21.
Задача 1.
Найти точно и приближенно экстремаль функционала с закрепленной границей
.
1. Привести вывод уравнения Эйлера. Решить соответствующую краевую задачу.
2. Подробно описать методику решения вариационной задачи конечно-разностным методом Эйлера. Найти приближенное решение конечно-разностным методом Эйлера.
Показать сходимость полученного приближенного решения к точному при возрастании числа элементов, используемых в аппроксимации. Построить графики решений.
Задача 2.
Подробно описать методику решения вариационной задачи методом Ритца. Используя вариационный метод Ритца, найти экстремали функционала
.
Исследовать сходимость. Построить графики.
Получить уравнение Эйлера для функционала, сформулировать соответствующую краевую задачу и построить точное решение.
Сравнить полученные точное и приближенное решения.
Вариант № 22.
Задача 1.
Найти точно и приближенно экстремаль функционала с закрепленной границей
.
1. Привести вывод уравнения Эйлера. Решить соответствующую краевую задачу.
2. Подробно описать методику решения вариационной задачи конечно-разностным методом Эйлера. Найти приближенное решение конечно-разностным методом Эйлера.
Показать сходимость полученного приближенного решения к точному при возрастании числа элементов, используемых в аппроксимации. Построить графики решений.
Задача 2.
Подробно описать методику решения вариационной задачи методом Ритца. Используя вариационный метод Ритца, найти экстремали функционала
.
Исследовать сходимость. Построить графики.
Получить уравнение Эйлера для функционала, сформулировать соответствующую краевую задачу и построить точное решение.
Сравнить полученные точное и приближенное решения.
Вариант № 23.
Задача 1.
Найти точно и приближенно экстремаль функционала с закрепленной границей
.
1. Привести вывод уравнения Эйлера. Решить соответствующую краевую задачу.
2. Подробно описать методику решения вариационной задачи конечно-разностным методом Эйлера. Найти приближенное решение конечно-разностным методом Эйлера.
Показать сходимость полученного приближенного решения к точному при возрастании числа элементов, используемых в аппроксимации. Построить графики решений.
Задача 2.
Подробно описать методику решения вариационной задачи методом Ритца. Используя вариационный метод Ритца, найти экстремали функционала
.
Исследовать сходимость. Построить графики.
Получить уравнение Эйлера для функционала, сформулировать соответствующую краевую задачу и построить точное решение.
Сравнить полученные точное и приближенное решения.
Вариант № 24.
Задача 1.
Найти точно и приближенно экстремаль функционала с закрепленной границей
.
1. Привести вывод уравнения Эйлера. Решить соответствующую краевую задачу.
2. Подробно описать методику решения вариационной задачи конечно-разностным методом Эйлера. Найти приближенное решение конечно-разностным методом Эйлера.
Показать сходимость полученного приближенного решения к точному при возрастании числа элементов, используемых в аппроксимации. Построить графики решений.
Задача 2.
Подробно описать методику решения вариационной задачи методом Ритца. Используя вариационный метод Ритца, найти экстремали функционала
.
Исследовать сходимость. Построить графики.
Получить уравнение Эйлера для функционала, сформулировать соответствующую краевую задачу и построить точное решение.
Сравнить полученные точное и приближенное решения.
Вариант № 25.
Задача 1.
Найти точно и приближенно экстремаль функционала с закрепленной границей
.
1. Привести вывод уравнения Эйлера. Решить соответствующую краевую задачу.
2. Подробно описать методику решения вариационной задачи конечно-разностным методом Эйлера. Найти приближенное решение конечно-разностным методом Эйлера.
Показать сходимость полученного приближенного решения к точному при возрастании числа элементов, используемых в аппроксимации. Построить графики решений.
Задача 2.
Подробно описать методику решения вариационной задачи методом Ритца. Используя вариационный метод Ритца, найти экстремали функционала
.
Исследовать сходимость. Построить графики.
Получить уравнение Эйлера для функционала, сформулировать соответствующую краевую задачу и построить точное решение.
Сравнить полученные точное и приближенное решения.
Вариант № 26.
Задача 1.
Найти точно и приближенно экстремаль функционала с закрепленной границей
.
1. Привести вывод уравнения Эйлера. Решить соответствующую краевую задачу.
2. Подробно описать методику решения вариационной задачи конечно-разностным методом Эйлера. Найти приближенное решение конечно-разностным методом Эйлера.
Показать сходимость полученного приближенного решения к точному при возрастании числа элементов, используемых в аппроксимации. Построить графики решений.
Задача 2.
Подробно описать методику решения вариационной задачи методом Ритца. Используя вариационный метод Ритца, найти экстремали функционала
.
Исследовать сходимость. Построить графики.
Получить уравнение Эйлера для функционала, сформулировать соответствующую краевую задачу и построить точное решение.
Сравнить полученные точное и приближенное решения.
Вариант № 27.
Задача 1.
Найти точно и приближенно экстремаль функционала с закрепленной границей
.
1. Привести вывод уравнения Эйлера. Решить соответствующую краевую задачу.
2. Подробно описать методику решения вариационной задачи конечно-разностным методом Эйлера. Найти приближенное решение конечно-разностным методом Эйлера.
Показать сходимость полученного приближенного решения к точному при возрастании числа элементов, используемых в аппроксимации. Построить графики решений.
Задача 2.
Подробно описать методику решения вариационной задачи методом Ритца. Используя вариационный метод Ритца, найти экстремали функционала
.
Исследовать сходимость. Построить графики.
Получить уравнение Эйлера для функционала, сформулировать соответствующую краевую задачу и построить точное решение.
Сравнить полученные точное и приближенное решения.
Вариант № 28.
Задача 1.
Найти точно и приближенно экстремаль функционала с закрепленной границей
.
1. Привести вывод уравнения Эйлера. Решить соответствующую краевую задачу.
2. Подробно описать методику решения вариационной задачи конечно-разностным методом Эйлера. Найти приближенное решение конечно-разностным методом Эйлера.
Показать сходимость полученного приближенного решения к точному при возрастании числа элементов, используемых в аппроксимации. Построить графики решений.
Задача 2.
Решить задачу стационарной теплопроводности в материале, занимающем квадрат | x | £ 1, | y | £ 1, если на сторонах y = ±1 поддерживается температура 10000С, тогда как на сторонах x = ± 1 задано условие .
1. Привести вывод стационарного уравнения теплопроводности.
2. Подробно описать методику решения задачи методом Ритца. Используя вариационный метод Ритца, найти распределение температуры на квадрате, используя аппроксимацию, удовлетворяющую краевым условиям только на сторонах y = ± 1. Показать сходимость аппроксимации к краевому условию на сторонах x = ± 1.
3. Построить графики приближенных решений.
4. Построить точное решение задачи и сравнить его с приближенным.
Вариант № 29.
Задача 1.
Найти точно и приближенно экстремаль функционала с закрепленной границей
.
1. Привести вывод уравнения Эйлера. Решить соответствующую краевую задачу.
2. Подробно описать методику решения вариационной задачи конечно-разностным методом Эйлера. Найти приближенное решение конечно-разностным методом Эйлера.
Показать сходимость полученного приближенного решения к точному при возрастании числа элементов, используемых в аппроксимации. Построить графики решений.
Задача 2.
Дать подробное описание метода Бубнова-Галеркина. Пользуясь этим методом, найти решение уравнения Гельмгольца в квадрате 0 £ x £ 2, 0 £ y £ 2
при краевых условиях . Исследовать сходимость приближенного решения; построить графики.
Построить точное решение задачи и сравнить его с приближенным.
Вариант № 30.
Задача 1.
Найти точно и приближенно экстремаль функционала с закрепленной границей
.
1. Привести вывод уравнения Эйлера. Решить соответствующую краевую задачу.
2. Подробно описать методику решения вариационной задачи конечно-разностным методом Эйлера. Найти приближенное решение конечно-разностным методом Эйлера.
Показать сходимость полученного приближенного решения к точному при возрастании числа элементов, используемых в аппроксимации. Построить графики решений.
Задача 2.
Дать подробное описание вариационного метода Ритца. Пользуясь этим методом, найти решение уравнения Гельмгольца в квадрате 0 £ x £ 2, 0 £ y £ 2
при краевых условиях . Исследовать сходимость приближенного решения; построить графики.
Построить точное решение задачи и сравнить его с приближенным.