Относительным равновесием жидкости называется такой случай ее движения, при котором отдельные ее частицы не смещаются одна относительно другой и вся масса жидкости движется как твердое тело. Например, вообразим, что некоторый замкнутый резервуар (наполненный жидкостью) движется с постоянной скоростью (или постоянным ускорением) в любом направлении и с этой же скоростью (или ускорением) движется также и каждая частица жидкости, находящейся в резервуаре. Очевидно, что рассматриваемая масса жидкости будет неподвижна в координатной системе, связанной с движущимся резервуаром. Такое движение жидкости представляет собой относительное ее равновесие.
Рассмотрим два практически наиболее интересных случая: движение по вертикали и вращательное движение относительно вертикальной оси.
1. Движение по вертикали
Допустим, что открытый резервуар вместе с находящейся в ней жидкостью движется в вертикальном направлении сверху вниз с некоторым постоянным ускорением j, меньшим ускорения свободного падения g или равным ему (рис. 1.14).
|
|
Определим вид поверхности уровня и закон распределения гидростатического давления. Заметим предварительно, что, согласно принципу даламбера, при любом движении тела можно пользоваться уравнениями статики, если к системе действующих сил прибавить силы инерции (они направлены в сторону, противоположную направлению движения). Такая система сил будет уравновешена, и тело можно считать находящимся в равновесном состоянии.
Следовательно, мы можем воспользоваться уравнением поверхности уровня:
рис. 1.14
Чтобы написать уравнение поверхности уровня для данного случая, определим X, Y и Z. Ускорениями действующих сил будут ускорения свободного падения g (9,81 м/с2) и ускорение сил инерции jи. Оба ускорения направлены параллельно оси Oz. Следовательно, проекции этих ускорений на оси хну равны нулю: Х=0 и Y=0, а
Итак, уравнение поверхности уровня в дифференциальной форме примет следующий вид:
Если
Интегрируя, находим z = const. А это значит, что - поверхность уровня будет горизонтальной плоскостью.
Если j=g,
то =1 и тогда dz может быть и не равным нулю, следовательно, форма свободной поверхности может быть произвольной.
То есть при падении с ускорением g (свободное падение) жидкость в невесомости, значит форма поверхности произвольная.
Определим закон распределения Гидростатического давления.
В условиях спуска по вертикали с ускорением j закон распределения гидростатического давления будет таким же, как и в обычных условиях равновесия жидкости в поле земного тяготения, р = pо + γ,h но с тем отличием, что в подвижной системе координат удельный вес меньше, причем, если j=g, т. е. при свободном падении, объемный вес γ'=0. Жидкость стала «невесомой».
|
|
)
2. Статическое вращение жидкости
Предположим, что цилиндр с водой, налитой до глубины zо, приведен во вращательное движение вокруг вертикальной оси Oz с угловой скоростью ω, с-1 (рис. 2.15).
Вращающиеся стенки цилиндра приведут во вращательное движение ближайшие к стенкам слои жидкости, а затем, вследствие вязкости жидкости — и всю ее массу. По истечении известного времени все частицы жидкости будут вращаться примерно с одной и той же угловой скоростью ω.Допустим, что такой момент времени наступил.
Определим форму поверхности уровня и, в частности, свободной поверхности.Как и в первой задаче, будем исходить из общего дифференциального уравнения поверхности уровня
Так как движение симметрично относительно оси вращения, то рассмотрим равновесие частиц жидкости, расположенных в плоскости координат xOz, вращающейся с угловой скоростью ω. Как и в предыдущей задаче, объемными силами будут силы земного тяготения и силы инерции. Последняя представляет собой центробежную силу, направленную параллельно оси Ох и в сторону от оси вращения.
В точке М на расстоянии х от оси Oz линейная скорость частицы u=хω, поэтому для нее центробежное ускорение
и следовательно полное ускорение внешних объемных сил:
Очевидно, что в данном случае:
Делая подстановку получим:
или
и после интегрирования
что представляет собой уравнение параболы с вершиной на оси Oz в точке А, имеющей координату zi=h.
Поскольку уравнение симметрично относительно оси Oz, то поверхность уровня будет представлять собой параболоид вращения.
Запишем закон распределения давления:
рабс=ратм+pизб
В качестве примеров можно решить задачи 1.2, и 1.3 на странице 50
Уч. Альтшуль – Гидравлика и Аэродинамика.
2.12 Равновесие Газов