Вернемся к задаче вариационного исчисления, т.е. среди всех близких кривых найдём такую функцию , при которой выполняется условие (4.2).
Предположим, что функция, при которой выполняется условие (4.2), известна. Обозначим её . Пусть начала и концы оптимальной и неоптимальной кривых совпадают (см. рис. 4.2). Для кривых близких в смысле первого порядка кривые отличаются только крутизной наклона, т.е. первыми производными. Тогда для неоптимальной кривой можно записать, что
,
где – малое число;
– произвольная гладкая функция, которая в начальный и конечный моменты времени равна нулю ;
– называется вариацией функции .
С учётом этого функционал (4.1) можно записать в виде:
. (4.3)
Необходимое условие оптимальности (экстремальности) функции – равенство нулю первой производной по переменной . Найдём и приравняем к нулю.
. (4.3)`
С учетом того, что ; выражение (4.3)` можно представить в виде:
.
Рассмотрим второе слагаемое .
Используем свойство интегралов
. (4.4)
Обозначим , тогда . Найдём и в (4.4). Для этого продифференцируем по времени : . Откуда следует, что . Так как , то .
|
|
Тогда второе слагаемое можно записать следующим образом:
.
Множитель по условию.
Тогда
. (4.5)
Воспользуемся леммой Лагранжа: если для каждой непрерывной функции и интеграл тождественно равен нулю при всех , то либо , либо . По условию мы приняли, что . Тогда . С учётом этого можно записать, что
. (4.6)
Полученное уравнение (4.6) называется уравнением Эйлера.
Так как , то
.
Тогда уравнение Эйлера в развернутой форме примет вид:
. (4.7)
Таким образом, решив уравнение Эйлера (дифференциальное уравнение второго порядка) с использованием двух граничных условий, можно найти оптимальное управление , при котором . Такая функция называется экстремалью.