Бесконечно большие величины

Определение. Функция называется бесконечно большой величиной при , если для любого, даже сколь угодно большого положительного числа М>0, найдется такое положительное число >0 (зависящее от М, ), что для всех х, не равных и удовлетворяющих условию<, будет верно неравенство

> М (5.3.9)

Запись того, что функция бесконечно большая при , следующая:

или при .

Это же определение можно представить в виде:

(-бесконечно большая величина при , или )

>0) >0) (<) > М.

Если в приведенном определении > М (или <- М), то пишут (или ).

Аналогично можно было определить понятие бесконечно большой величины при . Приведем его в краткой форме:

(- бесконечно большая величина при , или )

>0) >0) (> S) > М.

Пример. Доказать, что функция является бесконечно при .

Выберем сколь угодно большое М>0.

>М, если <, или <. Действительно, найдется такое , что если <, то верно неравенство >М. Если М=1000, то

Замечание 1. Не следует путать бесконечно большую переменную величину с очень большим, но постоянным числом М>0, ибо по мере приближения значений х к (при ) или по мере увеличения по модулю х (при ) в соответствии с неравенством (5.3.9) функция превзойдет это число М(по абсолютной величине).

Замечание 2. не следует путать понятия бесконечно большой величины и неограниченной величины. Всякая неограниченная функция при не всегда является бесконечно большой. В то время как бесконечно большая величина при всегда неограниченная величина.