Признаки существования пределов

Для выяснения вопроса о существовании предела функции(числовой последовательности) использовать сформулированные выше определения, не всегда удобно. Бывает, что проще это сделать с помощью признаков существования пределов.

Теорема 5.4.1. (без доказательства). Если числовая последовательность монотонная и ограниченная, то она имеет предел.

Эту теорему можно представить в виде:

,т.е. при < М

М>0

Возможны два случая:

1. последовательность монотонно возрастает, т.е. для выполняются условия <и ограниченна сверху, т.е. такая, что для любого п < M

2. последовательность монотонно убывает и ограниченна снизу, т.е. >и для любого п > M.

Без доказательства продемонстрируем наличие предела на (рис.5.4.1)

Рис.5.4.1

Можно показать (используя формулу бинома Ньютона), что и следующие члены последовательности для также возрастают, т.е. данная последовательность монотонно возрастает.

Из формулы бинома Ньютона следует также, что любой член последовательности меньше трех: <3 т.е. последовательность - ограниченна сверху. На основании теоремы 5.4.1 следует, что существует этот пределобозначается символом " е " и называется "числом е".

е (5.4.1)

Позже будет показано, что е =2,718281… является иррациональным числом.

"Число е "(число Эйлера, неперово число) играет весьма важную роль в математическом анализе. График функции у= е получил название экспоненты. Широко используются логарифмы по основанию е, называется натуральными. Натуральные логарифмы обозначаются символом: Между десятичными и натуральными логарифмами имеет место такая связь: или