а) Пусть при любых x С [a;b] f'(x)>0. Для любых x1,x2 C [a;b] запишем теорему Лагранжа: .
Если , то a <ξ<b. Пусть x2 > x1 , то есть x2 - x1 >0 и f'(ξ)>0, тогда f(x2)> f(x1), то есть функция f(x) возрастает на отрезке [a;b].
б) доказательство аналогично.
Геометрическая интерпретация монотонности: , f(x) возрастает, , f(x) убывает (рис. 9.1)
Итак, если f'(x)>0, функция f(x) возрастает; f'(x)<0, функция f(x) убывает. Очевидно, интервалы монотонности определяются точками, в которых f'(x)=0. Назовем эти точки критическими или стационарными. Однако, не всякие стационарные точки разделяют интервалы монотонности (y=x3). Кроме того, интервалы монотонности, могут определяться точками, где производная не существует или функция терпит разрыв.
Рис. 9.1
Итак, при отыскании интервалов монотонности, следует найти критические точки, где f'(x)=0, точки, гдене существует производной (f'(x)=∞) и точки разрыва функции. Эти точки делят область определения функции на несколько интервалов, в каждом из которых производная не меняет знак.
Рис. 9.2
|
|
Примеры.
1. , x=0 – точка разрыва
2. y=x3-3x+2- всюду непрерывна и дифференцируема.
y'=3x2-3, x1=-1, x2=1 – критические точки.
, , .
В точке x=0 производная не существует.