Пусть x0 –внутренняя точка области определения функции y=f(x).
Определение. Говорят, что в точке x0 функция y=f(x) имеет максимум, если существует такая окрестность этой точки, что для любого x, принадлежащего этой окрестности выполняется условие f(x0)> f(x); точка x0 есть точка минимума, если для любого x из этой окрестности f(x0)< f(x).
x1, x3 – точки максимума, x2, x4 – точки минимума. (рис. 9.3)
Из определения вытекает локальный характер максимумов и минимумов. Очевидно, возможно существование нескольких максимумов и минимумов. Поэтому не следует путать понятия максимума и наибольшего значения функции, минимума и наименьшего значения функции в рассматриваемой
Рис. 9.3
области. Точкам максимума соответствуют максимальные значения функции, точкам минимума - минимальные значения. Точки минимума и максимума называют точками экстремума, а соответствующие значения функции экстремальными значениями функции f(x). Наибольший из максимумов – глобальный максимум, наименьший из минимумов - глобальный минимум.
|
|
Если функция f(x) рассматривается на замкнутом отрезке [a;b], то наибольшего значенияМ она достигает либо в точке глобального максимума, либо на конце отрезка [a;b]; наименьшего значения m – в точке глобального минимума, либо на одном из концов отрезка [a;b]: f(a)=m, f(b)=M.
Подчеркнем, что экстремум может достигаться лишь во внутренних точках рассматриваемой функции (y=sin x, y=x2).
Так как экстремальные значения функции существенно характеризуют поведение функции, то рассмотрим теоремы, которые указывают способы нахождения экстремумов.
Необходимый признак существования экстремума (теорема Ферма).
Теорема 9.2 Если функция y=f(x) непрерывна и дифференцируема в точке x0 и имеет в ней экстремум, то производная в этой точке f'(x)=0 (Рис. 9.4)
Доказательство. Пусть x0 –точка максимума. В этом случае f(x0)> f(x0+ Δ x), независимо от знака Δ x. Тогда Δy=f(x0+Δx)-f(x0)<0, ( Δ x ><0). Если Δ x>0, то <0; если Δ x>0, то >0.
Рис. 9.4
Так как
, ,
то (x0)=0.
Для случая, когда x0 –точка минимума, доказательство аналогично.
Обратное теореме Ферма утверждение не верно, то есть из условия f'(x)=0, не следует, что x0 –точка экстремума.
Примеры.
при x=0 (Рис. 9.5)
при x=0 (Рис. 9.6)
Рис. 9.5 Рис. 9.6
Таким образом, экстремумы функции следует искать среди критических (стационарных) точек. Однако, не всякая стационарная точка является точкой экстремума. Теорема Ферма имеет простое геометрическое истолкование: если x0 –точка экстремума, то касательная к кривой в этой точке параллельна оси Ox.
Замечание. Если снять требование дифференцируемости в точке экстремума x0, то возможно в этой точке функция y=f(x) имеет либо бесконечную производную (f'(x)=∞), либо вообще не имеет производной. (Рис. 9.7)
|
|
Острые экстремумы в точках x=0, x=x1, x=x3 и x=x4.
x2 – точка гладкого экстремума.
Рис.9.7
Примеры.
(Рис. 9.8 а), (Рис. 9.8 б), (Рис. 9.8 в)
а) б) в)
Рис. 9.8