2014-02-02
3663
Формула полной вероятности и формула Байеса. Схема и формула Бернулли. Приближение Пуассона для схемы Бернулли.
Лекция 3.
Определение 3.1. Пусть событие А может произойти только совместно с одним из событий Н 1, Н 2,…, Нп, образующих полную группу несовместных событий. Тогда события Н 1, Н 2,…, Нп называются гипотезами .
Теорема 3.1. Вероятность события А, наступающего совместно с гипотезами Н 1, Н 2,…, Нп, равна:
(3.1)
где p (Hi) – вероятность i- й гипотезы, а p (A/Hi) – вероятность события А при условии реализации этой гипотезы. Формула (3.1) носит название формулы полной вероятности.
Доказательство.
Можно считать событие А суммой попарно несовместных событий АН 1, АН 2,…, АНп. Тогда из теорем сложения и умножения следует, что
что и требовалось доказать.
Пример. Имеются три одинаковые урны с шарами. В первой из них 3 белых и 4 черных шара, во второй – 2 белых и 5 черных, в третьей – 10 черных шаров. Из случайно выбран-ной урны наудачу вынут шар. Найти вероятность того, что он белый.
Решение. Будем считать гипотезами Н 1, Н 2 и Н 3 выбор урны с соответствующим номером. Так как по условию задачи все гипотезы равновозможны, то 
Найдем условную вероятность А при реализации каждой гипотезы: 
|
|
|
Тогда 
Пусть известен результат опыта, а именно то, что произошло событие А. Этот факт может изменить априорные (то есть известные до опыта) вероятности гипотез. Например, в предыдущем примере извлечение из урны белого шара говорит о том, что этой урной не могла быть третья, в которой нет белых шаров, то есть р (Н 3/ А) = 0. Для переоценки вероятностей гипотез при известном результате опыта используется формула Байеса:
(3.2)
Действительно, из (2.7) получим, что 
откуда следует справедливость формулы (3.2).
Пример. После двух выстрелов двух стрелков, вероятности попаданий которых равны 0,6 и 0,7, в мишени оказалась одна пробоина. Найти вероятность того, что попал первый стрелок.
Решение. Пусть событие А – одно попадание при двух выстрелах, а гипотезы: Н 1 – первый попал, а второй промахнулся, Н 2 – первый промахнулся, а второй попал, Н 3 – оба попали, Н 4 – оба промахнулись. Вероятности гипотез: р(Н 1) = 0,6·0,3 = 0,18, р (Н 2) = 0,4·0,7 = 0,28, р (Н 3) = 0,6·0,7 = 0,42, р (Н 4) = 0,4·0,3 = 0,12.Тогда р (А/Н 1) = р (А/Н 2) = 1, р (А/Н 3) = р (А/Н 4) = 0. Следовательно, полная вероятность р (А) = 0,18·1 + 0,28·1 + 0,42·0 + 0,12·0 = 0,46. Применяя формулу Байеса, получим:
