Методы численного интегрирования
ОСНОВЫ ЧИСЛЕННЫХ МЕТОДОВ
Лекция-5
Замечание.
Операторы
use dfimsl
use linear_operators
означают подключение библиотек стандартных подпрограмм dfimsl и
linear_operators, соответственно.
В библиотеке linear_operators возможно использовать стандартную подпрограмму определения собственных чисел и векторов eig в виде:
lambda=eig(a,v=y),
где
a – исходная матрица (двумерный массив nxn),
lambda – вектор собственных чисел (одномерный массив длиной n),
y – матрица собственных векторов, расположенных по столбцам (двумерный массив nxn).
Перечисленные массивы должны быть объявлены в программе.
Пусть требуется вычислить определенный интеграл вида
. (2.5.1)
Для многих функций первообразные представляют собой достаточно сложные комбинации элементарных функций, либо вовсе не выражаются через них. В таких случаях использование формулы Ньютона-Лейбница на практике не представляется возможным. Во многих практических случаях достаточно получить значение интеграла с заданной точностью . Для вычисления приближенного значения интеграла существуют формулы численного интегрирования. Суть построения формул численного интегрирования состоит в следующем.
|
|
Разобьем отрезок на частей. Для простоты изложения положим эти части одинаковой длины :
Пронумеруем точки разбиения так, как показано на рис. 2.5.1. Имеем:
,
при этом
.
Рис. 2.5.1. К вопросу о численном интегрировании.
Исходный интеграл (2.5.1) может быть представлен в виде суммы интегралов по полученным в результате разбиения «малым» отрезкам:
. (2.5.2)
Интегралы
(2.5.3)
вычисляются по приближенным формулам.
Простейшие формулы для приближенного вычисления интегралов по отрезку называются квадратурными формулами. Рассмотрим некоторые из них ниже, а также изучим вопросы их точности. Порядок точности квадратурной формулы определяется степенью полинома (многочлена), для которой эта квадратурная формула точна.
2.5.2. Формула прямоугольников (формула «средних»).
Заменим на i -ом участке интегрируемую функцию постоянной величиной, например, равной ее значению в средней точке (рис. 2.5.2):
Рис. 2.5.2. К интегрированию по формуле прямоугольников.
, где . (2.5.4)
Тогда интеграл на отрезке заменяется площадью прямоугольника, т.е.
, (2.5.5)
и вычисление исходного интеграла сводится к вычислению суммы
. (2.5.6)
Кроме того, часто из практических соображений в качестве в формуле (2.5.6) берется , либо . В результате получаем:
(2.5.7)
– квадратурная формула «левых» прямоугольников;
(2.5.8)
– квадратурная формула «правых» прямоугольников.
Формулы (2.5.7) и (2.5.8) менее точные, чем (2.5.6), но иногда более удобные, например, при численном решении дифференциальных уравнений.
|
|
Точность вычисления. Как следует из построения квадратурные формулы прямоугольников дают точный результат интегрирования для функций, постоянных на i -ом участке (). Квадратурная формула «средних» прямоугольников дает точный результат также и для линейных на i -ом отрезке функций. Это утверждение достаточно проверить для простейшей линейной функции .
При точном интегрировании получаем:
,
а при интегрировании по формуле «средних» прямоугольников
Как видно, результаты точного и численного интегрирования совпадают.