Среди нелинейных функций, которые могут быть приведены к линейному виду, в эконометрических исследованиях очень широко используется степенная функция
y = a × xb × e
Это связано с тем, что параметр b в ней имеет четкое экономическое истолкование, т.е. является коэффициентом эластичности. Это значит, что величина коэффициента b показывает, на сколько процентов изменится в среднем результат, если фактор изменится на 1 %. Так, если зависимость спроса от цен характеризуется уравнением вида yp= 105,56 × x –1,12, то, следовательно, с увеличением цен на 1 % спрос снижается в среднем на 1,12 %. О правомерности такого истолкования параметра b для степенной функции yx = a × xb можно судить, если рассмотреть формулу расчета коэффициента эластичности
,
где f’(x) – первая производная, характеризующая соотношение приростов результата и фактора для соответствующей формы связи.
Для степенной функции она составит f’ (x) = a × b × xb –1. Соответственно коэффициент эластичности равен:
.
Коэффициент эластичности, естественно, можно определять и при наличии других форм связи, но только для степенной функции он представляет собой постоянную величину, равную параметру b. В других функциях коэффициент эластичности зависит от значений фактора x. Так, для линейной регрессии первая производная yx = a + b × x функции и эластичность следующие:
и .
В силу того, что коэффициент эластичности для линейной функции не является величиной постоянной, а зависит от соответствующего значения x, обычно рассчитывается средний показатель эластичности по формуле
.
В виде степенной функции изучается не только эластичность спроса, но и предложения. При этом обычно эластичность спроса характеризуется параметром b < 0, а эластичность предложения b > 0.
Так как коэффициенты эластичности представляют экономический интерес, а виды моделей не ограничиваются только степенной функцией, приведем формулы расчета коэффициентов эластичности для наиболее распространенных типов уравнений регрессии.
Коэффициенты эластичности для ряда математических функций
Функция, y | Первая производная, yx’ | Коэффициент эластичности, Э = yx’× x/y |
Линейная у=a+b×х+e | b | |
Парабола второго порядка у=a+b×х+c×x2+e | b+2×c×x | |
Гипербола у=a+b/х+e | –b/x2 | |
Показательная y=a×bx×e | ln b×a×bx | |
Степенная y=a×xb×e | a×bx×xb–1 | |
Полулогарифмическая у=a+b×ln х+e | b/x | |
Логистическая | ||
Обратная y =1/(a+b×х+e) | –b/(a+b×x)2 |
Несмотря на широкое использование в эконометрике коэффициентов эластичности, возможны случаи, когда их расчет не имеет экономического смысла. Это происходит тогда, когда для рассматриваемых признаков бессмысленно определять изменения значений в процентах. Например, на сколько процентов изменится заработная плата с ростом стажа работы на 1%? Или, например, на сколько процентов изменится урожайность пшеницы, если качество почвы, измеряемое в баллах, изменится на 1%? В такой ситуации степенная функция, даже если она оказывается наилучшей по формальным соображениям (исходя из наименьшего значения остаточной вариации), не может быть экономически интерпретирована. Например, изучая соотношение ставок межбанковского кредита у (в процентах годовых) и срока его предоставления x (в днях), было получено уравнение регрессии = 11,684 × х 0,352с очень высоким показателем корреляции (0,9895). Коэффициент эластичности 0,352 % лишен смысла, ибо срок предоставления кредита не измеряется в процентах. Значительно больший интерес для этой зависимости может представить линейная функция = 21,1 + 0,403 × x, имеющая более низкий показатель корреляции 0,85. Коэффициент регрессии 0,403 показывает (в процентных пунктах) изменение ставок кредита с увеличением срока его предоставления на один день.