Гармонические поля
Скалярное поле называется гармоническим, если функция удовлетворяет уравнению Лапласа
.
Правая часть уравнения Лапласа называется оператором Лапласа и обозначается . Оператор Лапласа будет использован в дальнейшем при решении задач математической физики (задач колебания, теплопроводности, диффузии).
В прямоугольной системе координат
и уравнение Лапласа примет вид
.
Пример 1. Показать, что поле является гармоническим в пространстве , а поле является гармоническим в пространстве .
Решение. 1). По свойствам градиента .
По свойствам дивергенции .
Учитывая, что в пространстве , , получим:
.
2). В пространстве для поля имеем:
.