Прежде всего отметим, что векторный потенциал соленоидального поля определяется с точностью до градиента произвольной функции.
Действительно, так как поле потенциально, то и потому
;
значит, вектор также является векторным потенциалом поля . Поэтому подбором вектора можно добиться того, чтобы одна из координат векторного потенциала равнялась нулю, т.е. можно искать векторный потенциал, например, в виде . Тогда
.
Так как , то получим систему уравнений
.
Проинтегрируем первое и второе из равенств по :
;
здесь произвольные функции, не зависящие от переменной интегрирования . Подставляя найденные в третье из равенств, найдем функции
Пример 2. Проверить соленоидальность поля и найти его векторный потенциал.
Решение. Так как , то поле соленоидально, т.е. . Будем искать векторный потенциал в виде . Тогда
.
Так как то получим систему уравнений
.
Проинтегрируем первое и второе из этих равенств по :
Подставив эти выражения для в третье из равенств, получим
.
В частности, можно взять . Тогда векторный потенциал
|
|
.