Предел последовательности
Ограниченная последовательность. Точная верхняя (нижняя) грань. Монотонные последовательности
Глава 2. Последовательности
2.1. Основные понятия, относящиеся к последовательностям
Числовая последовательность и различные понятия, связанные с последовательностями. В частности, грани, предел, монотонность.
Определение. Последовательность { an } определяется как отображение множества натуральных чисел в множество действительных чисел, { an }: n® an.
Ограниченность сверху. $ b " nÎN: an £ b. Такое b называется верхней гранью последовательности { an }. Таким образом, последовательность называется ограниченной сверху, если у нее существует хотя бы одна верхняя грань.
Ограниченность снизу. $ a " n Î N: an ³ a. Существует нижняя грань.
Ограниченность. $ c " n Î N: |an| £ c. Существуют верхняя и нижняя грани.
Примеры: {(-1) n }, sin n,
Определение точной верхней грани. b = sup { xn }:
1) " n Î N: xn £ b (b есть верхняя грань).
2) "e>0 $ n Î N: xn > b - e(никакое меньшее число не является верхней гранью).
Аналогично определяется точная нижняя грань, обозначаемая inf.
Пример. Написать на кванторах утверждение b ¹ sup{ xn }.
b ¹ sup{ xn }означает отрицание b = sup { xn }. Таким образом, выполнено: или отрицание 1), или отрицание 2).
Другими словами:
или выполнено 1) $ n Î N: xn > b,
или выполнено 2) $e > 0 " n Î N: xn £ b - e.
Монотонно возрастающая последовательность { an }: " n Î N: an £ an+ 1.
Строго монотонно возрастающая последовательность { an }: " n Î N: an < an+ 1.
Аналогично даются определения монотонных убывающих последовательностей.
запись на кванторах
{ xn } сходится (у последовательности есть конечный предел).
Если последовательность не является сходящейся, то говорят, что она расходится. Построить отрицание предыдущего высказывания.
Замечание.
Бесконечно малая последовательность { xn }:.
Замечание. { xn } ® a Û xn=a+ a n, где a n - бесконечно малая последовательность.
Последовательность, удовлетворяющая одному из этих условий называется бесконечно большой (б.б.).
Отметим, что и.
Поэтому бесконечно большой будет последовательность, которая удовлетворяет условию.
В определении и в определении можно писать:
и.
Замечание. Бесконечно большая последовательность расходится.
Геометрическое определение предела
Интервал (a- e, a+ e) называется e - окрестностью точкиa.
Окрестностью -¥ называется множество вида (- ¥ ,b).
Окрестностью +¥ называется множество вида (b,+¥).
Окрестностью ¥ называется множество вида { x: |x|>b } =
= (- ¥ ,-b)È (b,+ ¥). Отметим, что при отрицательных b это множество всех вещественных чисел.
Геометрическое определение предела (общее для чисел и символов). Число или символ a называется пределом последовательности { xn }, если вне любой окрестности a имеется лишь конечное число членов этой последовательности.
2.2. Теоремы о пределах последовательностей
Основные свойства сходящихся последовательностей. Свойства монотонных последовательностей.