Монотонные последовательности

Простейшие свойства сходящихся последовательностей

Отбрасывание или добавление конечного числа членов последовательности не нарушает сходимости последовательности и величины ее предела.

Теорема 1. Сходящаяся последовательность имеет единственный предел.

Доказательство: Предположим противное, существует два предела:,. Возьмем какое нибудь, удовлетворяющее условиям:. Например, можно взять. По определению предела будет существовать такое, что при. Точно также существует такое, что при. Тогда при будут выполнены неравенства. Полученное противоречие доказывает требуемое утверждение.

Рис. 2.1

Т еорема 2. Сходящаяся последовательность ограничена.

Доказательство:. Возьмем e = 1 по определению предела для него существует N " n>N:a - 1 <x_n<a+ 1. В таком случае для числа b= max{ |x ₁ |,…,|x_N|,|a- 1 |,|a+ 1 | } для любого n будет выполнено |x_n|<b.

Теорема 3 (О трех последовательностях). Если для трех последовательностей выполнены неравенства, и, то

Теорема 4 (Переход к пределу в неравенству). Если для всех n выполнены неравенства и, то.

Следствие 1.

Следствие 2.

Замечание.

Теорема 5. Всякая ограниченная сверху, монотонно возрастающая последовательность { x_n } имеет конечный предел

Доказательство. Пределом будет число b=. Докажем это. Берем произвольное e>0. Из определения точной верхней грани следует, что найдется N такое, что b- e < x_N £ b <b+ e.

Все последующие члены последовательности будут располагаться в этой e -окрестности числа b в силу монотонности последовательности, ч.т.д.

Рис. 2.2

Замечание 1. Аналогично доказывается, что всякая ограниченная снизу монотонно убывающая последовательность сходится.

Замечание 2. Если {[ a_n,b_n ]} система вложенных стягивающихся к нулю отрезков и сÎ [ a_n,b_n ], то.

Доказательство:

. Аналогично,

.

Пример. Число e. Число Эйлера или неперово число.

Индукцией по n доказывается формула (Бином Ньютона):

.

Используя формулу бинома Ньютона для последовательности x_n= получим:

+… +…+ =

Для n+ 1будет выполнено, соответственно,

При переходе от n к n+ 1 каждое слагаемое в этой сумме увеличивается и общее число слагаемых увеличивается на один, поэтому x_n<x_{n+ 1}. Далее, каждая скобка <1 и, поэтому

. Монотонно возрастающая ограниченная последовательность сходится к некоторому числу, которое обозначается e.

Это трансцендентное число называется числом Эйлера e= 2.718281828459045…

2.3. Некоторые свойства последовательностей, связанные со свойством непрерывности вещественных чисел

Дальнейшие свойства сходящихся и ограниченных последовательностей. Подпоследовательность.