Бесконечно малые и бесконечно большие функции
Арифметические операции над пределами
Переход к пределу в неравенствах
Теорема. Если f (x), g (x) определены на, x 0 Î (a,b) и f (x) £ g (x) на и существуют пределы, А и B числа, то A £ B.
Аналогично, для случая f (x) <g (x).
Теорема. Если f (x), g (x) определены на, x 0 Î (a,b) и f (x) < g (x) на и существуют пределы, А и B числа, то A £ B.
Эти утверждения следуют из соответствующих теорем о пределах последовательностей, используя определение предела по Гейне.
Везде в этом пункте рассматриваются конечные пределы.
1),, если $.
2), если существуют конечные пределы,.
3), если существуютконечные пределы,.
Следствие:, если существуетконечный предел.
4) $ Þ$
5) g(x)¹0,, $ Þ$
Замечание. Аналогичные свойства имеют место для односторонних пределов.
Определение. Бесконечно малой в x0 называется функция f (x) такая, что
Свойства бесконечно малых функций
1) Критерий существования конечного предела функции
|
|
Û $ б.м. функция a(x) при x®x 0: f (x) =A+ a(x).
2)a(x),b(x)б.м. Þ a(x) + b(x)б.м..
3) Произведение б.м. функции на ограниченную является б.м. функцией.
4) Произведение б.м. функций является б.м. функцией.
Определние. f (x), определенная в проколотой окрестности x 0, называется бесконечно большой б.б. в т. x 0, если.
5) Если a(x) б.м. при x®x 0 и a(x)¹0, то 1/a(x) является б.б. и наоборот. Символически это записывают в виде 1/¥=0, 1/0=¥.
Пусть функции f,g определенны в некоторой проколотой окрестности x 0.
Пишут,если
.
Аналогично определяется O при x®x 0+0, x®x 0 - 0, x® ±¥, x® ¥.
Пример: f (x) =O (1), x® ¥означает локальную ограниченность функции в ¥.
Определение. Если при x®x 0, f (x) =O (g) и g (x) =O (f), то f (x), g (x) называются функциями одного порядка.
Пример: Функции x 3 ,x 2являются функциями одного порядкапри x® 1.
Определение o (о малое). Пусть f (x), g (x) определенны в некоторой проколотой окрестности точки x 0. Пишут f (x) =o (g (x)), x®x 0, если $$ бесконечно малая a(x) при x®x 0, такая, что
" x Î: f (x) = a(x) g (x).
Аналогично определяется o при x®x 0+0, x®x 0 - 0, x® ±¥, x®
Пример: f (x) =o (1), при x®x 0означает, что f (x)б.м. при x®x 0.
Некоторые примеры работы с символами o для случая x® 0.
o (xn) ± o (xn)= o (xn),
xm o (xn) = o (xn+m),
c o (xn) = o (xn) (c-константа),
o (xn) ± o (xn+p) = o (xn), здесь p натуральное.
o (xn+p)/ xp= o (xn)В частности, o (xp)/ xp= o (1).
o (an xn± an+ 1 xn+ 1±…± an+p xn+p) = o (xn).
Если a,b бесконечно малые и b =o (a), то говорят, что b бесконечно малая более высокого порядка, чем a.
Определение. Функции f (x), g (x) называются эквивалентными в x 0 (говорят так же, в окрестности x 0), если выполнено хотя бы одно из двух условий
, (в этом случае g называется главной частью f при x® x 0)
(f - главная часть g при x® x 0).
|
|
Условие эквивалентности записывается в виде f~g, при x®x 0.
Замечание 1. Если выполнено одно из этих условий, то будет выполнено и второе.
Замечание 2. Эти условия можно записать в другой форме. Например, первое из них: в некоторой проколотой окрестности точки имеет место равенство f (x) =h (x) g (x), = 1.
Замечание 3. Если, например, g (x)¹0, то первое условие можно записать в виде.
Определение. Если для некотрого C выполняется:
f (x) ~ C при x®x 0, то f (x) называется бесконечно малой порядка при x®x 0 (- положительное вещественное число). Вместо условия x®x 0 может быть. Если для некотрого C выполняется f (x) ~ C при x®x 0, то в этом случае также говорят о бесконечно малой порядка при x®x 0 .
Так, например, функция ~ при x® 0 (бесконечно малая порядка 2).
Если для некотрого C выполняется: f (x) ~ при x®x 0, то f (x) называется бесконечно большой порядка при x®x 0.
Если f (x) б.б. при x®¥ и f (x) эквивалентна при x® ¥, то f (x) называется бесконечно большой порядка при x®¥. Аналогично определяется порядок бесконечно большой при.
Замечание. Если f (x)б.м. порядка, то1/ f (x)будет б.б. порядкаи наоборот.
Примеры. Определить характер функций в 0, 1,+¥.
~ при x® 0 (бесконечно малая порядка 2)
~ при x® 1,
~ при x® (бесконечно большая порядка 3).
~ при x® 0 (бесконечно малая порядка 2),
~ при x® 1 (бесконечно малая порядка 1),
~ при x® (бесконечно большая порядка 4).
Пример. Функция при x® 0 является бесконечно малой порядка.
Пример. Функция при x® 1 является бесконечно малой неопределенного порядка. Не существует такого C и действительного числа, что ~ при x® 1.
Пример. = ~, при x®.
При вычислении пределов полезна следующая теорема.
Теорема. Пусть f эквивалентна f 1, g эквивалентна g 1 при x®x 0.
Если существует предел, тогда существует и.
Если существует предел, тогда существует и.
Пример..
Пример. =1.
Пример..
3.4 Замечательные пределы
Замечательные пределы, основные эквивалентности.