ПРЕДЕЛ ФУНКЦИИ
Пусть функция y = f (x) определена в некоторой окрестности точки x 0, кроме, быть может, самой точки x 0.
Сформулируем два, эквивалентных между собой, определения предела функции в точке.
Определение 1 (на «языке последовательностей», или по Гейне ).
Число А называется пределом функции у = f (x)в точке х 0 (или при
х →x 0), если для любой последовательности допустимых значений аргумента хп, п N (хп ≠ x 0), сходящейся к x 0 (т. е. ) последовательность соответствующих значений функции f (xn), п N, сходится к числу А (т. е. ).
В этом случае пишут или f (x)→ А при х→ х 0. Геометрический смысл предела функции: означает, что для всех точек x, достаточно близких к точке x 0, соответствующие значения функции как угодно мало отличаются от числа А.
Определение 2 (на «языке ε - δ», или по Коши). Число А называется пределом функции в точке х 0 (или при х → х 0), если для любого положительного ε найдется такое положительное число δ,что для всех х ≠ х 0,удовлетворяющих неравенству , выполняется неравенство .
|
|
Записывают . Это определение коротко можно записать так:
Геометрический смысл предела функции:, если для любой ε -окрестности точки А найдется такая δ-окрестность точки x 0, что для всех x ≠x 0 из этой δ-окрестности соответствующие значения функции f (x) лежат в ε-окрестности точки А. Иными словами, точки графика функции у= f (х) лежат внутри полосы шириной 2ε, ограниченной прямыми у = А+ ε, у = А - ε (см. рис. 1). Очевидно, что величина δ зависит от выбора ε, поэтому пишут δ=δ(ε).
Рис. 1.