Точки разрыва функции и их классификация
Точки, в которых нарушается непрерывность функции, называются точками разрыва этой функции. Если х = x0 - точка разрыва функции у = f (x),то в ней не выполняется, по крайней мере, одно из условий первого определения непрерывности функции, а именно:
1. Функция определена в окрестности точки x 0, но не определена в самой точке x 0.
Например, функция у = не определена в точке x 0 = 2 (см. рис. 2).
Рис. 2.
2. Функция определена в точке x 0и ее окрестности, но не существует предела f (x)при х → x 0.
Например, функция
определена в точке x 0 = 2 (f (2) = 0), однако в точке x 0= 2имеет разрыв (см. рис. 3), т. к. эта функция не имеет предела при x → 2:
, a .
Рис. 3.
3. Функция определена в точке x 0и ее окрестности, существует ,но этот предел не равен значению функции в точке x 0:
.
Например, функция (см. рис. 4)
Здесь x 0 = 0 - точка разрыва: а g (x 0) = g (0) = 2.
Рис. 4.
Все точки разрыва функции разделяются на точки разрыва первого и второго рода.
Определение 1. Точка разрыва x 0называется точкой разрыва первого родафункции у = f (x),если в этой точке существуют конечные пределы функции слева и справа (односторонние пределы), т. е. и . При этом:
|
|
а) если А 1= A 2, то точка x 0называется точкой устранимого разрыва;
б) если A 1 ≠ А2, то точка x 0называется точкой конечного разрыва. Величину |A 1 - А 2 | называют скачком функциив точке разрыва первого рода.
Определение 2. Точка разрыва x 0называется точкойразрыва второго родафункции у = f (x), если по крайней мере один из односторонних пределов (слева или справа) не существует или равен бесконечности.
1. Обратимся к функциям, рассмотренным выше (см. рис. 2) у =, x 0 = 2 — точка разрыва второго рода.
2. Для функции
x 0 = 2 является точкой разрыва первого рода, скачок функции равен || = 1
3. Для функции
при х 0 = 0 является точкой устранимого разрыва первого рода. Положив g (х)= 1(вместо g (х)= 2) при х= 0, разрыв устранится, функция станет непрерывной.