Пусть материальная точка (некоторое тело) М движется неравномерно по некоторой прямой. Каждому значению времени t соответствует определенное расстояние ОМ = S до некоторой фиксированной точки О. Это расстояние зависит от истекшего времени t, т. е. S = S(t).
Это равенство называют законом движения точки. Требуется найти скорость движения точки.
Если в некоторый момент времени t точка занимает положение M, то в момент времени t + ∆ t (∆t — приращение времени) точка займет положение M 1, где ОМ 1 = S + ∆S (∆S — приращение расстояния) (см. рис. 1). Таким образом, перемещение точки М за время ∆t будет ∆S = S (t + ∆t) – S (t).
Рис. 1.
Отношение выражает среднюю скоростьдвижения точки за время ∆t:
Vср.= .
Средняя скорость зависит от значения ∆t: чем меньше ∆t, тем точнее средняя скорость выражает скорость движения точки в данный момент времени t.
Предел средней скорости движения при стремлении к нулю промежутка времени ∆t называется скоростью движения точки в данный момент времени (или мгновенной скоростью). Обозначив эту скорость через V,получим
|
|
, или . (7.4)
Если функция y=f(x) описывает какой-либо физический процесс, то производная есть скорость протекания этого процесса.