Теорема (Правило Лопиталя раскрытия неопределенностей вида ).
Пусть функции f (х) и φ (x) непрерывны и дифференцируемы в окрестности точки x 0и обращаются в нуль в этой точке: f (x 0) = φ (x 0) = 0. Пусть φ '(х) ≠ 0 в окрестности точки x 0. Если существует предел , то .
Замечания:
1. Теорема верна и в случае, когда функции f (x) и φ (х) не определены при х = x 0, но и . Достаточно положить
f (x 0) = и φ (x 0) =
2. Теорема справедлива и в том случае, когда х →. Действительно,
положив x = , получим .
3. Если производные f '(x) и φ '(x) удовлетворяют тем же условиям, что и функции f (x) и φ (x), теорему можно применить еще раз: и т. д.
Теорема. (Правило Лопиталя раскрытия неопределенностей вида ).
Пусть функции f (x) и φ (х) непрерывны и дифференцируемы в окрестности точки x 0 (кроме, может быть, точки x 0), в этой окрестности , φ ′(x) ≠ 0. Если существует предел , то .