Точка x 0называется точкой максимумафункции у = f (х), если существует такая δ - окрестность точки x 0,что для всех х ≠ x 0 из этой окрестности выполняется неравенство f (x) < f (x 0).
Аналогично определяется точка минимума функции: x 0- точкаминимумафункции, если . На рисунке 8 x 1 - точка минимума, а точка х 2- точка максимума функции у = f (х).
Рис. 8.
Значение функции в точке максимума (минимума) называется максимумом(минимумом)функции. Максимум (минимум) функции называется экстремумом функции.
Понятие экстремума всегда связано с определенной окрестностью точки из области определения функции. Поэтому функция может иметь экстремум лишь во внутренних точкахобласти определения. Рассмотрим условия существования экстремума функции.
Теорема (необходимое условие экстремума).
Если дифференцируемая функция у = f (х) имеет экстремум в точке x 0,тo ее производная в этой точке равна нулю: f '(x 0) = 0.
Геометрически равенство f '(x 0) = 0 означает, что в точке экстремума дифференцируемой функции у = f (х)касательная к ее графику параллельна оси Ох (см. рис. 9).
Рис. 9.
Отметим, что обратная теорема неверна, т. е. если f '(x 0) = 0, то это не значит, что x 0- точка экстремума. Например, для функции у = х 3 ее производная
у ′ = 3 х 2 равна нулю при х = 0, но х = 0 не точка экстремума (см. рис. 10).
Рис. 10.
Существуют функции, которые в точках экстремума не имеют производной. Например, непрерывная функция у = |х| в точке х = 0 производной не имеет, но точка х = 0 — точка минимума (см. рис. 11).
Рис. 11.
Таким образом, непрерывная функция может иметь экстремум лишь в точках, где производная функции равна нулю или не существует. Такие точки называются критическими.
Теорема (достаточное условие экстремума).
Если непрерывная функция у = f (x)дифференцируема в некоторой δ -окрестности критической точки x 0 и при переходе через нее (слева направо) производная f '(х) меняет знак сплюса на минус, то x 0 есть точка максимума; с минуса на плюс, то x 0 - точка минимума.
Исследовать функцию на экстремум означает найти все ее экстремумы.
Чтобы найти точки экстремума данной функции, нужно:
1) найти критические точки функции у = f (х);
2) выбрать из них лишь те, которые являются внутренними точками области определения функции;
3) исследовать знак производной f '(x) слева и справа от каждой из выбранных критических точек;
4) в соответствии с теоремой (достаточное условие экстремума) выписать точки экстремума (если они есть) и вычислить значения функции в них.
Теорема. Если в точке x 0 первая производная функции f (x) равна нулю (f '(x 0) = 0), а вторая производная в точке x 0 существует и отлична от нуля (f "(x 0) ≠ 0), то при f "(x 0) < 0 в точке x 0 функция имеет максимум и минимум - при f "(x 0) > 0.