Тема №10 Физические и математические признаки устойчивости

УСТОЙЧИВОСТЬ ЛИНЕЙНЫХ СИСТЕМ

ЛЕКЦИЯ № 6

Устойчивость – это свойство системы возвращаться в исходное состояние равновесия после снятия воздействия выведшего систему из этого состояния.

Система- поверхность-шарик

Устойчивость системы определяется характером свободного движения системы.

Физический признак устойчивости – система устойчива если свободная составляющая y(t) переходного процесса с увеличением времени →0, неустойчива, если →∞, нейтральная → к некоторой постоянной величине.

Математический признак устойчивости – для устойчивости системы, необходимо и достаточно, чтобы все корни характеристического уравнения имели отрицательную действительную часть (все полюса были левыми).

Если все полюса лежат слева от мнимой оси, система устойчива, хотя бы один справа система не устойчива, на колебательной (периодической) границе устойчивости, если при остальных левых полюсах имеем пару чисто мнимых корней и на апериодической границе устойчивости, если при остальных левых полюсах имеем один нулевой полюс.

Т.к. выходная величина устойчивой системы при t→∞ асимптотически стремится к вынужденной составляющей переходного процесса, такую устойчивость называют асимптотической.

Математиком Ляпуновым показана связь между устойчивостью линериализированных и исходных нелинейных систем в теоремах:

1 если линериализированная система устойчива, то устойчива и исходная нелинейная;

2 если линериализированная система неустойчива, то неустойчива и исходная нелинейная;

3 если линериализированная система находится на границе устойчивости, то для оценки устойчивости нелинейной системы нужны дополнительные исследования, т.е. другим методом или с большой точностью.