А) Система устойчива, если при положительности (одинаковом знаке) всех коэффициентов ХУ все диагональные миноры матрицы Гурвица>0 (положительны).
ХУ: D(s)=a0sn+ a1sn-1+… an=0
Б) По главной диагонали матрицы Гурвица размером (mxn) выписывают последовательно начиная с а1 коэффициенты ХУ, столбцы заполняют вверх последующими вниз предыдущими коэффициентами, отсутствующие коэффициенты заменяют 0.
Главный определитель матрицы равен Δn= Δn-1 ·аn=0, если определитель предыдущего порядка Δn-1 =0(пара мнимых корней), тогда система находится на периодической границе устойчивости, либо если аn=0 (нулевой корень), тогда система находится на апериодической границе устойчивости.
Пример: Оценить устойчивость системы по Гурвицу
Проверяем необходимое условие
А) все аi>0 (т.е. все коэффициенты ХУ положительны)
Достаточное условие
Δ1 | |||
Δ2 | |||
Б)
Δ1=2>0
Δ2=6-4=2>0 Вывод: система устойчива.
Частные случаи:
1) система первого порядка
2) система второго порядка
Для устойчивости систем нулевого, первого и второго порядка необходимо и достаточно, чтобы все коэффициенты ХУ были больше нуля.
3) система третьего порядка
Достаточно вычислить Δ2=а1а2- а0а3 (произведение средних минус произведение крайних).
Критерии Гурвица используют при ручных расчетах систем до четвертого порядка включительно.
ЛЕКЦИЯ №7