Условия монотонности функции.
Производная неявной функции.
Правило Лопиталя.
Производная высших порядков.
Вычисление приближенного значения с помощью дифференциала.
Основные теоремы дифференциального счисления.
Производная параметрической функции.
Уравнение касательной и нормали.
Производная сложной функции.
Теорема: функция дифференцируема (имеет производную) в т., функция дифференцируема в точке, причем z′(x)= gy′ ·f ′x (или).
Доказательство.
z ′ =
(т.к. функция дифференцируема она непрерывна)
= gy′ ·f ′x.
Производная показательно – степенной функции (логарифмическое дифференцирование)
Возьмем производную от обеих частей равенства:
Пример:
- параметр.
Пример:
Теорема Ферма:
Пусть функция, или
Доказательство. Рассмотрим случай, когда М- точка максимума функции:
Предположим, что, тогда при х либо больше, либо меньше нуля.
По определению предела
|
|
Геометрическое истолкование теоремы следует из геометрического смысла производной, т.е. касательная к графику функции в т.м с абсциссой с, параллельно оси оХ.
Теорема Ролля:
Пусть функция,
Доказательство. Из условия по свойству непрерывных функций от отсюда следует, что
Следовательно, имеет 2 варианта:
1. Когда, при
2., т.к.. Пусть, тогда по теореме Ферма.
Теорема имеет такое же геометрическое истолкование как и теорема Ферма.
Теорема доказана.
При
Пример:
Пусть функция, существует,, если дифференцируема в точке а, то говорят, что существует вторая производная от функции в точке а.
Если дифференцируема на всем множестве Е, то существует
Производная от называется - ой производной от и обозначается.
Формула Лейбница:
Пример:
Пусть и - непрерывные дифференцируемые функции.
1., причем
2., причем
Если существует, то существует
Доказательство.
Рассмотрим. Выполняется формулой Лагранжа
,
тогда
Тогда
Примеры:
1..
2.
2)
Теорема: Для того, что бы непрерывная на некотором промежутке функция дифференцируемая во всех его точках, возрастала(убывала) на этом промежутке, необходимо и достаточно чтобы производная этой функции
строго возрастает | ||
возрастает | ||
константа | ||
строго убывает | ||
убывает |
если, тогда при.
Следовательно функция - возрастающая.
- строго возрастает:
1. предел
2.
Пример:
(строго возрастающая функция)
3. функция постоянная.
4,5. Доказательство аналогично.
Пусть функция определена в некоторой окрестности точки, тогда точку называют точкой максимума (минимума) функции,если некоторое число, что выполняется неравенство:.
|
|
В том случае, если неравенство строгое, то такие точки называют строгим максимумом и строгим минимумом.