Асимптоты.
Выпуклость. Точки перегиба.
Нахождение наименьшего и наибольшего значения функция.
Формула Тейлора.
Достаточное условие экстремума.
Экстремумы.
Экстремумами называют точки строгого максимума и строго минимума.
Теорема1 (Необходимое условие экстремума)
Пусть т. является точкой экстремума функции определенной в некоторой окрестности точки, тогда либо =0 или
Доказательство. (по теореме Ферма)
Теорема: Если производная функции меняет знак при переходе через точку, то - точка экстремума. Если с «+» на «-» - точка max, с «-» на «+» точка min.
Доказательство. с «+» на «-»
Пусть функция при и при
1)
2)
Следовательно - точка max (по определению) Аналогично для min.
Теорема3:
Если - точка минимума.
Если - точка max.
1)
2)
Аналогично для точки max.
1. критические точки
2. (критические точки)
1) Если значение функции в т.() значения секущей в т., то функция называется выпуклой внизу.
2) (через точку х) Если касательная в точке лежит ниже графика функции, то функция называется выпуклой снизу в точке.
|
|
Уравнение секущей вычисляется по формуле:
- выпуклая вверх в точке
- выпуклая вниз в точке
Если функция - выпуклая вверх в каждой точке интервала, то такая функция называется выпуклой вверх на интервале.
Теорема: (достаточное условие выпуклости)
Если функция непрерывно дифференцируема, то в точке и, то функция выпуклая вниз в точке. Соответственно, то функция выпуклая вверх.
Доказательство.
Теорема: Если в точке, меняет свой знак, то - точка перегиба.
Доказательство.
1) Вертикальная. Прямая называется вертикальной асимптотой графика, если а- предельная точка, выполняется одно из 4-х условий:
2) Горизонтальная. - называется горизонтальной асимптотой, если выполняется условие:
Область определения функции не ограничена
Прямая называется наклонной асимптотой функции, если выполнимо:
1. не ограничена
2. Выполняется одно из двух условий:, значение вычисляется по формуле:
Схему исследования смотрите в практике
Гиперболический синус
Гиперболический косинус
;
Функцией y=f(x1, x2, x3, … xn) определенной на множестве называется соответствие, ставящее значению x= (x1, x2, x3, … xn) в соответствие значение R, то есть. Множество D(y) называется областью определения функции, y(D)= E(y) – множество значений функции.
Примеры: 1) Найти D(y) и E(y) для функции
Решение. 1-x2-y2≥0
x2+y2≤1 (круг с радиусом 1 и центром в начале координат) (рис.)
х |
у |
О |
D(y) |
Рис.
z2=1-x2-y2
x2+y2+z2=1, z≥0
у |
z |
О |
х |
Рис.
Для функции 2-х переменных z = f (x; y) находят линии уровня: f (x; y) = с
Пример:
|
|
х |
у |
О |
С=0 |
С=0,5 |
(семейство концентрических окружностей)
Рис.
Для функции 3-х переменных строятся поверхности уровня:
U=f(x;y;z)
f(x;y;z)=C
Пример:
у |
z |
О |
С=4 |
С=1 |
х |
(семейство концентрических сфер)
Рис.
δ- окрестностью т М0(х0,у0) называют множество всех значений т М(х,у), таких, что < δ
Точка - внутренняя точка множества D, если такая δ окрестность Vδ, что
Точка М0 называется граничной точкой множества D, если любая δ – окрестность содержит точки как принадлежащие так и не принадлежащие ей.
D |
Граничная точка |
Внутренняя точка |
Рис.
Границей множества D называется множество граничных точек (- граница области D).
Множество D, состоящие только из внутренних точек, называется открытым (замкнутое множество D)
Область D называется ограниченной, если для нее можно подобрать круг полностью его покрывающий.
х |
у |
М |
D |
Рис.
Пример:
(неограниченное множество)
Областью называют открытое множество D, для которого верно следующее утверждение: 2 любые точки множества D можно соединить ломаной линией, состоящей из всех точек множества D (рис.).
D |
М1 |
М2 |
Не является областью |
Область |
D |
М1 |
М2 |
Рис.
Множество D, называется односвязным, если для любого замкнутого контура, лежащего в этом множестве, ограниченная его часть полностью принадлежит замкнутому множеству (рис.).
D |
Не является односвязным множеством |
D |
Односвязное множество |
Рис.